Racjonalny wszechświat Michała Hellera

Jeśli jest jakieś jedno pojęcie, które przenika bodaj wszystkie książki Michała Hellera dotyczące filozofii przyrody i filozofii w nauce, jakaś fundamentalna własność, którą przypisuje on światu, to jest to „racjonalność”. 

Oczywiście nie chodzi tu o antropomorfizację – przyroda nie jest racjonalna w takim sensie, w jakim bywają ludzie – lecz o „cechę, dzięki której można [przyrodę] racjonalnie badać”. Cecha ta, jak przekonuje Heller, nie jest trywialna. Wprost przeciwnie – jego zdaniem skuteczność ścisłych nauk przyrodniczych, a nawet sama możliwość ich uprawiania, mówią nam coś bardzo głębokiego o Naturze.

Zacznijmy od truizmu: od czasów Galileusza i Newtona fizyka potężnie się rozwinęła. Od mechaniki klasycznej, zdolnej opisywać (i przewidywać!) ruch spadających jabłek, kul armatnich i planet, dotarliśmy do zakrzywionych czasoprzestrzeni kosmologii relatywistycznej, która zajmuje się Wszechświatem w największej skali, oraz do kwantowej teorii pola, która wnika w dziwaczny świat cząstek subatomowych, przewidując ich zachowanie z zadziwiającą dokładnością. Choć dzieło fizyki wciąż jest dalekie od ukończenia, oszałamia swoim rozmachem.

Jednocześnie, choć zakres zjawisk obejmowanych teoriami fizycznymi stale się poszerza, następuje też ich stopniowa unifikacja: od Newtona, którzy pożenił fizykę ziemską z mechaniką niebieską, przez dziewiętnastowieczne scalenie elektryczności z magnetyzmem oraz termodynamiki z mechaniką (o czym za chwilę), po dwudziestowieczną teorię względności z jej czasoprzestrzenią oraz model standardowy z jego zestawem klocków – cząstek elementarnych. Umiemy wyjaśnić coraz więcej, wychodząc z coraz mniejszego zestawu podstawowych praw. Jednak tym, co prawdziwie ujednolica i spaja fizykę od jej zarania, jest matematyka. To właśnie w jej języku, jak to ujął już Galileusz, napisana została „księga wszechświata”.

Zdaniem Hellera, matematyka jest jednak dla fizyki czymś więcej niż tylko językiem. Nie idzie bowiem tylko o to, że wielkości fizyczne wyraża się wzorami, a wynikami pomiarów są liczby. W istocie każda teoria fizyczna jest w całości „zbudowana z matematyki” – stanowi matematyczną strukturę, która nie tyle opisuje daną grupę zjawisk, ile ją modeluje. 

Takie matematyczne modele rzecz jasna mają swoje ograniczenia, a wiele z nich nie wytrzymuje późniejszej konfrontacji z coraz dokładniejszymi obserwacjami. Sztandarowym przykładem jest tu mechanika klasyczna, która mimo iż święciła triumfy przez ponad 200 lat, ostatecznie okazała się tylko granicznym przypadkiem dwóch innych struktur: ogólnej teorii względności i mechaniki kwantowej. A i tych teorii nikt raczej nie uważa za ostateczne.

Niemniej, mimo niedoskonałości naszych modeli, zdaniem Hellera to zadziwiające, iż taka strategia badań, polegająca na tworzeniu matematycznych modeli zjawisk, a następnie konfrontowaniu ich przewidywań z eksperymentem, jest aż tak skuteczna. 

Fizyk-noblista Eugene Wigner pisał w tym kontekście wręcz o „niepojętej skuteczności matematyki w naukach przyrodniczych”. Podawał przy tym szereg przykładów z historii fizyki, gdy jakaś teoria fizyczna okazywała się poprawnie modelować zjawiska, o których nikomu się nawet nie śniło w momencie jej formułowania.

Bodaj najbardziej spektakularnego przykładu dostarcza powstanie ogólnej teorii względności. Gdy w 1907 r. Einstein zabierał się do pracy nad stworzeniem relatywistycznej teorii grawitacji, przyświecała mu garść postulatów, na których chciał ją oprzeć. Najistotniejsze były tzw. zasada względności, głosząca, iż prawa fizyki powinny mieć taką samą postać we wszystkich układach odniesienia, oraz tzw. zasada równoważności, która w uproszczeniu stwierdza, że lokalnie grawitacji nie da się odróżnić od przeciążenia wynikającego z poruszania się z przyspieszeniem (czyli np. w przyspieszającej do góry windzie wszystko dzieje się dokładnie tak, jak gdyby wzrosła siła ziemskiego przyciągania).

Gdy Einsteinowi po latach wytężonej pracy udało się wyrazić te postulaty w terminach geometrii różniczkowej (nowego wówczas działu zaawansowanej matematyki), otrzymał równania pola grawitacyjnego – znane dzisiaj jako równania Einsteina. Te jednak okazały się kryć w sobie znacznie więcej, niż oczekiwał. Opisywany przez nie wszechświat musiałby się rozszerzać lub kurczyć, czasoprzestrzeń mogłaby falować albo ulegać miejscowo tak silnemu odkształceniu, że nawet światło nie mogłoby uciec z takiej pułapki. 

Einstein nie mógł się pogodzić z żadną z tych konsekwencji jego własnych równań. Tymczasem wszystkie po latach okazały się realizowane w przyrodzie. Jak to możliwe, że struktura matematyczna wybrana po to, by wyrażać dwa stosunkowo niewinne postulaty fizyczne, poprawnie (i wbrew wyobrażeniom autora) przewidziała istnienie fal grawitacyjnych i czarnych dziur?

Oddajmy ponownie głos Michałowi Hellerowi: „Światu należy przypisać cechę, dzięki której szczególnie skutecznie można go badać za pomocą metody matematycznej. Świat posiada więc racjonalność szczególnego typu – typu matematycznego”. Tę filozoficzną propozycję nazywa „hipotezą matematyczności świata”.

Z hipotezą tą – jak z każdą hipotezą filozoficzną – można oczywiście polemizować. Może to nie tyle świat jest matematyczny, ile matematyka jest „światowa”? W końcu pojęcia liczby, punktu i prostej wyabstrahowano z otaczającego nas świata. Nic tedy dziwnego, że możemy je do tegoż świata z powodzeniem stosować. 

To oczywiście prawda, ale jak zauważają Heller i Wigner, to wciąż nie wyjaśnia aż takiej skuteczności metody matematycznej. Praktyczno-fizyczne korzenie arytmetyki i geometrii nijak nie tłumaczą, dlaczego nieskończenie wymiarowe przestrzenie Hilberta albo grupy i algebry Liego, opracowane po setkach lat mozolnej wspinaczki na kolejne piętra matematycznej abstrakcji, tak dobrze sprawdzają się w modelowaniu świata subatomowego. 

Świata, z którym nigdy nie mieliśmy bezpośredniej styczności, by móc coś z niego abstrahować. Świata, którego elementy nierzadko wręcz odkrywamy najpierw „na papierze”, analizując matematyczną strukturę teorii. To właśnie w taki sposób, na lata przed ich doświadczalną obserwacją, przewidziano istnienie takich cząstek jak pozyton, kwarki, gluony czy słynny bozon Higgsa.

Mało tego, wygląda na to, że bez matematyki nie da się nawet sensownie mówić o świecie kwantów. Język naturalny i codzienna intuicja zupełnie nie radzą sobie np. z uchwyceniem sensu splątania kwantowego, które ma bardzo precyzyjną matematyczną definicję. W fizyce kwantowej to nasza wyobraźnia musi nadążać za matematyką, a nie odwrotnie.

Hipotezę matematyczności świata Heller wyraża niekiedy nieco silniej: „struktura Wszechświata jest przedziwnie podobna do tych struktur, których studiowaniem zajmuje się matematyka”. Gdy się jednak z tym zgodzimy, natychmiast pojawia się pytanie, dlaczego właściwie przyroda sięga po abstrakcyjne struktury badane przez matematyków często bez żadnego związku z fizyką. „Dlaczego – pyta Heller – przyroda tak łatwo stosowałaby się do ludzkich wymysłów?”.

Rozważmy dla przykładu liczby zespolone, czyli system liczbowy rozszerzający znane ze szkoły liczby rzeczywiste o pierwiastki z liczb ujemnych. Natknęli się na nie przypadkiem szesnastowieczni włoscy uczeni poszukujący ogólnego sposobu na rozwiązywanie równań wielomianowych (problem czysto akademicki, motywowany wówczas głównie względami prestiżowymi). 

Liczby te, jako pozbawione geometrycznego sensu, uznano za bezużyteczne i zgoła podejrzane, czego dobitnym wyrazem było nazwanie pierwiastków z liczb ujemnych „liczbami urojonymi” przez Kartezjusza. Matematycy zmienili o nich zdanie dopiero w XIX w., gdy okazało się, że liczby zespolone upraszczają wiele obliczeń i mają głęboki związek z różnymi działami matematyki. Co jednak najciekawsze, liczby te okazały się absolutnie kluczowe w fizyce kwantowej. 

Jak pisze Roger Penrose: „To tak, jak gdyby Przyroda sama była pod [...] wrażeniem zakresu i spójności systemu liczb zespolonych i oddała w ich władanie precyzyjne operacje swojego świata w najbardziej mikroskopijnej skali”.

Dlaczego struktura świata miałaby być w jakimkolwiek sensie podobna do dziwacznego systemu liczbowego odkrytego (niechcący) w renesansie? Zdaniem zarówno Hellera, jak i Penrose’a ma to swoje źródło w tym, iż same obiekty studiowane przez matematyków w pewnym sensie istnieją obiektywnie.

Aby lepiej wyjaśnić, o co chodzi, posłużmy się stosowanym przez Hellera rozróżnieniem na „matematykę przez małe m” i „Matematykę przez duże M”. Ta pierwsza jest wytworem ludzkiego umysłu – to wszystkie nazwy i symbole, definicje, twierdzenia i dowody opracowane w ciągu wieków przez matematyków i zebrane w podręcznikach, traktatach i artykułach naukowych. Druga natomiast to pozafizyczny „świat” abstrakcyjnych struktur i ich wzajemnych relacji, który „matematyka przez małe m” usiłuje badać. 

W świecie tym to, co nazywamy liczbami zespolonymi, istniało zawsze, całkowicie autonomicznie wobec algebraicznych perypetii uczonych. Zdaniem Penrose’a, takie „obiektywne pojęcia matematyczne należy uważać za byty ponadczasowe, a nie powołane do życia z chwilą zauważenia ich, po raz pierwszy, przez człowieka”. Takie stanowisko w filozofii matematyki przyjęło się nazywać platonizmem.

To właśnie „Matematykę przez duże M” ma na myśli Heller, gdy mówi o matematyczności świata. Natura posiada strukturę, która sama jest odbiciem pewnego fragmentu tej ponadczasowej „struktury struktur”. Jak pisze filozof: „Matematyka przez duże M istnieje poza czasem, jest wieczna i niezmienna [...] Wszystko, co byłoby z nią sprzeczne, nie może istnieć. Wszystko, co istnieje, podlega jej logice”.

Tym sposobem w filozofii Hellera wignerowska „niepojęta skuteczność matematyki” mówi nam coś głębokiego nie tylko o Wszechświecie, ale pośrednio także o naturze samej matematyki.

Ciekawą i zaskakującą ilustracją matematyczności świata jest zjawisko przypadku. Pozornie może się wydawać, iż ze względu na swoją nieprzewidywalność, zdarzenia losowe są czymś niematematycznym par excellence, z definicji pozbawione jakiejkolwiek struktury. Tymczasem, jak zauważa Heller na kartach „Filozofii przypadku”, losowość nie tylko nie wyłamuje się spod reguł „Matematyki przez duże M”, ile wręcz stanowi integralną część racjonalnej struktury świata.

Dział matematyki zajmujący się modelowaniem zjawisk przypadkowych to tzw. rachunek prawdopodobieństwa, zwany też probabilistyką. Historycznie wyrósł on z analizy gier losowych takich jak gra w kości, gdy spostrzeżono, iż choć wynik pojedynczego rzutu kośćmi jest nie do przewidzenia, to już zbiorcze wyniki długiej serii rzutów wykazują pewne intrygujące prawidłowości, które dają się ująć matematycznie. 

Centralnym pojęciem jest tu wielkość liczbowa zwana prawdopodobieństwem, przypisująca każdemu potencjalnemu wynikowi zdarzenia losowego wartość od 0 do 1, która określa szanse jego zajścia (gdzie 0 oznacza niemożliwość, a 1 – stuprocentową pewność). Przykładowo, każdy wynik rzutu uczciwą kością odznacza się prawdopodobieństwem 1/6.

Kolejne pokolenia badaczy stopniowo rozszerzały obszar zastosowań rachunku prawdopodobieństwa. Metody probabilistyczne doprowadziły do powstania statystyki, wkroczyły do ubezpieczeń, finansów, a nawet etyki. Co jednak dla nas najistotniejsze, doprowadziły one do rewolucji w fizyce.

W drugiej połowie XIX w. James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann i Josiah Willard Gibbs posłużyli się zaawansowanymi metodami statystycznymi do modelowania gazu, do tej pory opisywanego przez termodynamikę w terminach ciśnienia, temperatury i przepływu ciepła. Uczeni ci odkurzyli przewijającą się od ponad dwustu lat ideę, że każdy gaz w rzeczywistości składa się z gigantycznej liczby malutkich kotłujących się cząsteczek. 

Przypisując tym hipotetycznym wówczas molekułom prędkość i energię losowo (zgodnie z pewnymi rozkładami prawdopodobieństwa), fizykom udało się zrekonstruować wszystkie pojęcia i prawa termodynamiki, tym samym redukując zjawiska cieplne do mechaniki. Narodziła się nowa „fizyka statystyczna”, która mimo iż nie potrafiła przewidzieć ruchu poszczególnych molekuł, skutecznie modelowała ich zbiorowe zachowanie.

Jak się okazało, powstanie fizyki statystycznej było tylko wstępem do kariery probabilistyki w fizyce. Wkrótce na scenę wkroczyła mechanika kwantowa, która modeluje Naturę jako immanentnie losową. O ile bowiem w fizyce statystycznej ruchem molekuł zasadniczo rządziły deterministyczne prawa Newtona, a stosowanie metod probabilistycznych było tam tylko sprytnym obejściem naszej niewiedzy na temat prędkości poszczególnych cząsteczek, to już według mechaniki kwantowej układy fizyczne mają niejako wbudowany element losowości. 

Sam układ kwantowy zwykle „nie wie”, jaki będzie wynik przeprowadzonego na nim pomiaru – jego stan dostarcza tylko rozkładu prawdopodobieństwa uzyskania poszczególnych wyników.

Powstanie i rozwój mechaniki kwantowej nie tylko umieściły losowość w sercu fizyki – wpłynęły także na samą probabilistykę. Wkrótce bowiem okazało się, że kwantowa losowość wymaga głębszych i ogólniejszych struktur matematycznych niż klasyczny rachunek prawdopodobieństwa. Struktury te do dziś są intensywnie badane przez matematyków, a także fizyków zajmujących się teorią informacji kwantowej.

Także klasyczna probabilistyka nie przestała się rozwijać. W XX w. nie tylko otrzymała postać aksjomatyczną (co oznacza swoistą matematyczną dojrzałość teorii), ale i weszła w głębokie interakcje z niemal wszystkimi działami matematyki. Do grupy dziedzin, w których znajduje zastosowanie, obok wspomnianych już ubezpieczeń i finansów, dołączyły biologia, ekologia, genetyka, kryptografia, teoria informacji, uczenie maszynowe i mnóstwo dalszych obszarów w fizyce (nie tylko kwantowej), nie wspominając o dziedzinach posługujących się wnioskowaniem statystycznym.

A zatem nawet przypadek i losowość dają się z powodzeniem modelować matematycznie. Świat i w tym aspekcie okazuje się „strukturalnie podobny” do Matematyki przez duże M.

Dla Eugene’a Wignera skuteczność matematyki była „niezwykłym darem, którego nie rozumiemy i na który nie zasługujemy”. Dla Alberta Einsteina „najbardziej niezrozumiałą rzeczą dotyczącą Wszechświata jest to, że jest on zrozumiały”. Michał Heller w matematyczności przyrody dostrzega coś więcej. 

Jego zdaniem, dzięki sukcesom nauki „Kosmos przekonał nas, że jego głęboka struktura ma w sobie coś przyjaznego: pozwala się rozumieć, przynajmniej częściowo, a to, co już zrozumieliśmy, zawiera w sobie obietnicę, że proces rozumienia będzie postępować nadal. [...] Uważam, że racjonalność Wszechświata, ten zadziwiający i »niezrozumiały« fakt, że Wszechświat daje się zrozumieć, dostarcza – pośredniego, zapewne, ale jednak wymownego – argumentu za sensownością ludzkiego istnienia [...] Domyślamy się, że żyjemy w środowisku Racjonalności i Sensu”. 

Przez duże R i S.

Źródła cytatów:

• M. Heller, „Filozofia i Wszechświat – wybór pism”, Universitas, 2008
• M. Heller, J. Życiński, „Matematyczność przyrody”, Petrus, 2010
• M. Heller, J. Życiński, „Wszechświat i filozofia”, CCPress, 2015
• M. Heller, „Ważniejsze niż Wszechświat”, CCPress, 2018
• R. Penrose, „Droga do rzeczywistości. Wyczerpujący przewodnik po prawach rządzących Wszechświatem”, Prószyński i S-ka, 2006
• E. Wigner, „Niepojęta skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych”, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, nr XIII, 1991

Dodatek do „Tygodnika Powszechnego” 11/2026

Redakcja: Łukasz Kwiatek 

Promocja: Anna Pietrzykowska 

Skład: Andrzej Leśniak

Fotoedycja: Katarzyna Bułtowicz, Grażyna Makara

Partnerami wydania są Miasto Kraków, Miasto Tarnów, Wydawnictwo Znak, Wyższa Szkoła Zarządzania i Informatyki w Rzeszowie oraz Stowarzyszenie Autorów Zaiks