Trzeba słuchać matematyki

Jedna z pierwszych książek Michała Hellera, która wpadła mi w ręce, nosi tytuł „Początek jest wszędzie”. Wbrew pozorom nie jest to traktat teologiczny, ale dość zaawansowany przewodnik po fundamentalnej fizyce. Pełno w nim magicznie brzmiących słów, takich jak repery, wiązki włókniste, grupoidy czy algebry von Neumanna. Taki opis świata jest diametralnie inny od tego, który poznajemy w szkole. Zamiast opowiastek o naładowanej kuleczce krążącej wokół jądra atomowego, pojawia się ściśle matematyczna definicja elektronu jako wektora w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Focka. Zrozumiałem wtedy, że matematyka to złoto dla zuchwałych. Pozwala głębiej wniknąć w strukturę świata, ale wymaga odwagi, no i ciężkiej pracy.

Za głosem równań

Każdy początkujący student kierunku ścisłego szybko przekonuje się o tym, że matematyki nie da się nauczyć w dzień przed egzaminem. Można dziesięć razy przeczytać definicję pochodnej, ale nie sposób jej zrozumieć, dopóki nie policzy się czegoś samodzielnie przy jej użyciu. Nauka matematyki wymaga systematyczności. Metoda Michała Hellera jest prosta: codziennie po trochę, żeby się umysł nie odzwyczaił. Najlepiej z rana, zanim zmęczenie zacznie mącić precyzję myśli. Również w niedziele, bo przecież matematyka to przyjemność, a nie obowiązek!

Przed moim pierwszym wyjazdem naukowym z Michałem Hellerem i jego współpracownikami zostałem ostrzeżony, że działają metodą „długich seminariów”. Polega to na tym, że spotykamy się w sali z dużą tablicą i jedna osoba zaczyna referować to, czego się ostatnio nauczyła. Gdy dotrzemy do konkretnego problemu, zaczynamy wspólnie liczyć. Bywało, że takie sesje przy tablicy trwały nawet 3-4 godziny bez przerwy. Po obiedzie krótka drzemka i spacer, a potem kolejna runda, z przerwą na kolację, nieraz do godz. 22.

CZYTAJ WIĘCEJ 

85. JUBILEUSZ KS. PROF. MICHAŁA HELLERA: Zapraszamy do lektury licznych tekstów Jubilata oraz o Jubilacie zebranych w specjalnym serwisie >>>

Podczas jednego ze spotkań naukowych w Pasierbcu pod Limanową – tradycyjnym miejscu naszych zebrań – obliczenia utknęły w martwym punkcie. Nie wiedzieliśmy, jak interpretować wynik i w którą stronę iść dalej. W trakcie burzy mózgów Heller powiedział: „Trzeba posłuchać matematyki”. Rzeczywiście, przyjrzeliśmy się jeszcze raz strukturze badanych równań i doszliśmy do wniosku, że nasze pierwotne założenia z nią nie współgrają. Musieliśmy się wycofać i zaatakować problem z innej strony.

To metodologiczne przykazanie Hellera wielokrotnie okazało się bardzo ­przydatne. Jego podstawowy aspekt zasadza się na tym, że matematyki nie można oszukać. Kiedy przyjdzie nam do głowy jakiś rewolucyjny pomysł, naukowy czy nie, często ulegamy pokusie uznania go za prawdę, nie trudząc się, żeby sprawdzić spójność argumentów. Trzeba niemałej pokory, żeby przeanalizować ścisłość własnego rozumowania i, w razie konieczności, wrócić do punktu wyjścia.

Hellerowe „słuchanie matematyki” ma też jednak aspekt filozoficzny. Zakłada ono bowiem, że matematyka jest nie tylko językiem opisu świata, ale również zasadą jego działania. Słuchając matematyki, możemy dotrzeć do prawdy o świecie – lub chociaż przybliżyć się do niej. Taki pogląd jest mocno ugruntowany przez historię nowożytnej fizyki. Sam Albert Einstein przyznał w 1933 r. w trakcie wykładu na Uniwersytecie Oksfordzkim, że jakkolwiek eksperyment pozostaje ostatecznym kryterium użyteczności danej matematycznej konstrukcji (pozwala rozstrzygnąć, czy dana teoria fizyczna wyrażona w języku matematycznym poprawnie opisuje jakieś zjawisko), to jednak prawdziwie twórcza siła tkwi w samej matematyce. To właśnie struktury matematyczne musimy badać, by odkrywać prawdy o wszechświecie.

Poza tym wsłuchiwanie się w matematykę potrafi sprawiać ogromną przyjemność. Odkrycie nowej melodii czy wyłapanie subtelnej modulacji w już znanym utworze daje nie lada satysfakcję. Co więcej, dokładne wsłuchiwanie się stanowi inspirację do tworzenia własnych dzieł. Analogia między muzyką a matematyką jest dość bliska – w obu przypadkach dzieło ma charakter artystyczny i niepowtarzalny, ale tworząc je, trzeba trzymać się ścisłych reguł harmonii, by uniknąć kakofonii.

Geometria wszechświata

Formalnie Heller jest filozofem – i takie wykształcenie odebrał w seminarium. Jednak fizyka i matematyka zawsze leżały w kręgu jego zainteresowań. Choć uczestniczył on jako wolny słuchacz w studiach z fizyki na Uniwersytecie Jagiellońskim, to jest przede wszystkim samoukiem. Od początku swojej kariery naukowej przyswoił niezliczoną ilość podręczników akademickich z różnych dziedzin matematyki.

Pierwsza była geometria różniczkowa. A to dlatego, że zapewnia ona matematyczny formalizm ogólnej teorii względności Einsteina, która z kolei jest podstawą nowoczesnej kosmologii. ­Doktorat Michała Hellera, obroniony w 1966 r. na KUL-u w dziedzinie filozofii, traktował o seryjnych modelach wszechświata. Był on na tyle zmatematyzowany, że na recenzenta powołano wybitnego fizyka relatywistę, prof. Andrzeja Trautmana.

Jednak sama geometria różniczkowa szybko przestała Michałowi Hellerowi wystarczać. A to za sprawą osobliwości – tajemniczych obszarów, w których załamuje się czasoprzestrzeń. Twierdzenia Hawkinga–Penrose’a pokazują, że osobliwości zawsze pojawiają się we wnętrzu czarnych dziur, a także jako stan początkowy w modelach kosmologicznych. Jedno wiadomo na pewno o tych tajemniczych obiektach – standardowe narzędzia geometrii różniczkowej nie są w stanie ich opisać.

To zaprowadziło Michała Hellera do tzw. przestrzeni różniczkowych wprowadzonych do literatury przez ­warszawskiego matematyka Romana Sikorskiego. Posługiwanie się tą strukturą wymaga wejścia na wyższy poziom abstrakcji i oswojenia się z koncepcją algebr funkcyjnych. Oferują one, miast klasycznego spojrzenia na przestrzeń złożoną z punktów, perspektywę globalną, w której podstawowymi obiektami są funkcje na (czaso)przestrzeni. Michał Heller nie tylko zaprzągł przestrzenie różniczkowe do budowania nowych modeli kosmologicznych, ale zaczął – we współpracy z matematykami z Politechniki Warszawskiej – twórczo je rozwijać od strony czysto matematycznej.

Choć kosmologia stanowiła główny obszar zainteresowań badawczych Hellera, nie zapominał on o fizyce mikroświata. Wniknięcie w ten obszar świata wymaga znajomości mechaniki kwantowej, która opiera się na zupełnie innych strukturach matematycznych niż te stosowane w ogólnej teorii względności. W wolnych chwilach douczał się zatem teorii przestrzeni Hilberta i algebr operatorowych.

„Zróbmy to nieprzemiennie”

W połowie lat 90. wspomniany już prof. Trautman zaprosił Michała Hellera do wygłoszenia seminarium na temat jego modeli kosmologicznych. Spodobało mu się nowatorskie podejście do problemu osobliwości, ale zasugerował, żeby spróbować „zrobić to nieprzemiennie”. Rzeczywiście, podówczas prężnie rozwijała się nowa dziedzina matematyki, tzw. geometria nieprzemienna, mająca na celu uogólnienie klasycznych pojęć geometrycznych na abstrakcyjne algebry operatorów. Hellera nie trzeba było dwa razy namawiać i zabrał się do studiowania literatury, w szczególności monumentalnego dzieła „Geometria nieprzemienna” autorstwa Alaina Connesa, laureata Medalu Fieldsa.

Owocem tych studiów Michała Hellera i jego warszawskich współpracowników był model grupoidowy czasoprzestrzeni. Wpisuje się on w poszukiwania kwantowej grawitacji – świętego Graala fizyków – teorii, która połączy w sobie mechanikę kwantową z ogólną teorią względności. Model grupoidowy ma szereg ciekawych własności, m.in. mechanizm wyłaniania się Einsteinowskiej czasoprzestrzeni z pewnej głębszej struktury, w której pojęcie czasu, a nawet punktu traci swój zwykły sens. Choć ten model pozostał w fazie prototypu i nigdy nie zyskał takiej popularności jak konkurencyjne podejścia, np. teoria strun czy pętlowa kwantowa grawitacja, to zawiera on sporo nowych inspirujących koncepcji. Jego podstawowym celem była unifikacja fizyki, czyli odnalezienie struktury matematycznej na tyle bogatej, że zarówno klasyczna geometria różniczkowa, jak i kwantowy rachunek operatorowy będą jej szczególnymi przypadkami.

Zapytałem kiedyś Michała Hellera, skąd właściwie wziął się pomysł na model grupoidowy. Odpowiedział tak: „Czytałem książkę Connesa i ni w ząb nic z tego nie rozumiałem! Aż w rozdziale drugim natrafiłem na definicję grupoidu. Pomyślałem, że to się bardzo dobrze nada do modelowania symetrii relatywistycznych, i zaczęliśmy drążyć temat”.

Heller z pewnością nie był jedynym, który połamał sobie zęby na monografii Connesa. „Geometria nieprzemienna” jest książką genialną i inspirującą, ale zupełnie niestrawną do studiowania, nawet dla doświadczonych matematyków. Wśród geometrów nieprzemiennych krąży powiedzenie, że najprostsza metoda na napisanie doktoratu z tej dziedziny to otwarcie książki Connesa na dowolnej stronie i próba zrozumienia wszystkiego, co tam jest napisane.

Kategorie, logiki, znaczenia

W listopadzie 2019 r. odbyła się 23. Krakowska Konferencja Metodologiczna pt. „Czy logika jest zmienną fizyczną?”. Tytułowe pytanie pochodzi od Michała Hellera i dobrze obrazuje szerokość jego naukowych perspektyw. Nie jest to bynajmniej czcza spekulacja filozoficzna, ale bardzo konkretna kwestia dotycząca zastosowań teorii kategorii w fizyce. Ta specyficzna dziedzina tropi zaskakująco bliskie nieraz związki pomiędzy całymi, pozornie odległymi od siebie, działami matematyki. Co więcej, teoria kategorii rzuca nowe światło na same podstawy matematyki i zapewnia dużo większe możliwości niż stara teoria zbiorów nadszarpnięta przez paradoksy („zbiór wszystkich zbiorów nie jest zbiorem”). W szczególności, każda kategoria specjalnego typu (tzw. topos) posiada wewnętrzną logikę. Być może zatem, rozumuje Michał Heller, uprawiając fizykę, musimy być przygotowani na zmianę logiki w zależności od tego, na jakiej skali rozważamy zjawiska?

W trakcie naszego ostatniego spotkania Heller tłumaczył mi z przejęciem, dlaczego teoria kategorii pozwala uwolnić się od dualizmów, które – choć uwielbiane przez filozofów ze względu na swoją moc klasyfikującą – przeszkadzają w patrzeniu na świat jako na całość. Takie podejście rzuca nowe światło na stary problem filozoficzny dotyczący natury „znaczenia”. Pokazuje ono, że syntaktyka i semantyka są ściśle ze sobą powiązane i nie sposób wyprowadzić jednej z drugiej, wbrew temu, co utrzymuje wielu filozofów. Następnym krokiem ma być ścisłe wyodrębnienie takich teorii matematycznych (tj. ich podkategorii), które mają sens fizyczny. Perspektywa jest więc niebagatelna: celem byłoby wyjaśnienie, jak i dlaczego matematyka „staje się światem”, i dlaczego właściwie abstrakcyjne obiekty, jak repery czy wiązki włókniste, tak zaskakująco dobrze opisują otaczający nas świat przyrody. ©