Jak udowodnić, że jest się papieżem

Duns Szkot był wielce uczonym mnichem franciszkańskim, żyjącym na przełomie XIII i XIV wieku. Wykładał w Cambridge, Oksfordzie, Paryżu i Kolonii. Zajmował się m.in. logiką.

Jak wiadomo, logika bada prawa myślenia. Chodzi w niej głównie o to, w jaki sposób wyprowadza się wnioski ze zdań uznanych za prawdziwe. Duns Szkot – może miał umysł przewrotny albo tylko wyrafinowany – odwrócił zagadnienie i zapytał: a jakie wnioski można wyprowadzić ze zdań fałszywych? I dokonał ważnego spostrzeżenia, które znane jest dziś jako prawo Dunsa Szkota. Fałsz ma tak destrukcyjną moc, że można z niego wydedukować wszystko, co się chce, czyli cokolwiek. Dobra wiadomość dla wszelkiego rodzaju autokratów i manipulatorów: kłamstwem – byle tylko było poświadczeniem fałszu – można udowodnić wszystko. Po łacinie brzmi to bardzo uroczyście: ex falso quodlibet.

Skutki sprzeczności w systemie

Ale dla logiki jest to przestroga: gdy buduje się system logiczny, trzeba strzec się sprzeczności, ponieważ z dwu zdań sprzecznych (czyli takich, z których jedno jest zaprzeczeniem drugiego) jedno musi być fałszywe, a z fałszu (ze zdania fałszywego) wynika wszystko (dowolne zdanie). Udowodnić wszystko, co się tylko chce, nie jest przejawem bystrego umysłu, lecz grzechem śmiertelnym logiki. Prawda jest restrykcyjna, eliminuje wszystko, co nią nie jest, pozostawiając tylko to, co się samo broni.

Jak to może być, żeby ze sprzeczności wynikało wszystko? To wygląda niewiarygodnie. Kiedyś, podczas wykładu z logiki, student zapytał Bertranda Russella: „Czy może pan, wychodząc ze sprzeczności, udowodnić, że jest pan papieżem?”.

Bertrand Russell odpowiedział: „Proszę bardzo. Załóżmy, że 1 = 0 (sprzeczność). Do obu stron tej równości dodajmy jeden. Otrzymamy: 2 = 1. Z tego wynika, że zbiór złożony z dwu elementów równa się zbiorowi złożonemu z jednego elementu. Ja i papież tworzymy zbiór złożony z dwu elementów, a ponieważ jest on równy zbiorowi złożonemu z jednego elementu, ja i papież tworzymy ten sam element, czyli ja jestem papieżem. Q.e.d. (co było do okazania, łac. quod erat demonstrandum)”.

To była błyskotliwa odpowiedź wytrawnego logika i filozofa, ale można to samo udowodnić na wiele sposobów. Na przykład: Bertrand Russell jest papieżem i Bertrand Russell nie jest papieżem (sprzeczność). Jeżeli koniunkcja dwu zdań jest prawdziwa, to obydwa te zdania są prawdziwe (jak głosi prawo logiki). A więc Bertrand Russell jest papieżem. Zauważmy, że stosując ten schemat rozumowania rzeczywiście możemy udowodnić cokolwiek. Wystarczy tylko za „Bertrand Russell jest papieżem” podstawić „cokolwiek”.

Dwa powyższe „dowody” pięknie ilustrują destrukcyjną moc sprzeczności. Dlatego system, który zawiera sprzeczność (w sposób jawny lub, co znacznie niebezpieczniejsze, w sposób ukryty), logicy nazywają systemem przepełnionym lub eksplodującym. System jest przepełniony, ponieważ zawiera wszystko, co się tylko zamarzy. Taki system eksploduje wszystkimi możliwościami. Eksplodując, niszczy wszelkie wynikania.

Logika na sali sejmowej

Jak dobrze, że te eksplozje zachodzą tylko w abstrakcyjnym świecie logiki, a nie w rzeczywistości. Jeżeli zachodziłyby „w realu”, to na przykład po budynku Sejmu już dawno pozostałaby tylko wielka dziura w ziemi.

Przecież w Sejmie (i w wielu innych miejscach) muszą odbywać się dyskusje, w których strony mogą mieć różne – a nawet sprzeczne ze sobą – zdania. Logika dyskusji stanowi ciekawy przypadek. Załóżmy, iż poseł A twierdzi, że p, a poseł B, że nieprawda, że p. Czy w dyskusji pomiędzy nimi musi dojść do logicznego chaosu, pomieszania pojęć i być może do wzajemnych inwektyw? W każdym razie do logicznej eksplozji. Logika – gdybyż tylko chciano jej słuchać – zna lekarstwa na takie sytuacje. Poseł A w swoim wystąpieniu powinien wystrzegać się sprzeczności i w ogóle stosować się do zasad logiki. To samo obowiązuje posła B. Pamiętamy, że poseł A głosi p, a poseł B – nieprawda, że p; i każdy z nich pozostaje przy swoim zdaniu, a nawet stara się przekonać oponenta do swojego stanowiska. Zatem w logice dyskusji dopuszczamy p i nieprawda, że p, czyli sprzeczność, ale pod jednym warunkiem: sprzeczność nie może „przepełnić” całej dyskusji; wolno jej tylko pojawiać się na linii rozgraniczającej poglądy obu posłów. System nie może eksplodować sprzecznościami; muszą być one zamknięte w ściśle określonym obszarze; w przypadku dyskusji: tam, gdzie spotykają się poglądy dyskutantów.

System logiczny, który tu krótko przedstawiłem na przykładzie sejmowej dyskusji, został przez logików opracowany z zachowaniem wszelkich rygorów ścisłości i nazywa się logiką parakonsystentną. Twórcą pierwszego systemu logiki parakonsystentnej był polski logik, Stanisław Jaśkowski (1906-1965).

A teraz rozejrzyjmy się wokół siebie: może po raz pierwszy ze zdziwieniem stwierdzamy, że we wszechświecie nie dzieje się cokolwiek: w skarpetce robi się dziura, gdy za długo ją noszę, ale skarpetki nie rosną na grządce; czarne dziury zderzają się i wybuchają, ale nie jeżdżą na rowerze... Wszechświat jest względnie uporządkowany. Nawet jeżeli dzieje się w nim coś dziwnego, prawa rachunku prawdopodobieństwa są respektowane. „Cokolwiek” jest wykluczone. A zatem wszechświatem rządzi jakaś logika, która nie jest przepełniona, nie eksploduje sprzecznościami.

Granice odporności

Istnieją różne systemy logiczne. W tym eseju zetknęliśmy się z dwoma: z systemem logiki klasycznej, w którym obowiązuje zasada niesprzeczności, i z systemem logiki parakonsystentnej, w którym zasada ta nie obowiązuje, ale pod warunkiem, że nie prowadzi to do przepełnienia systemu. W różnych systemach logicznych obowiązują różne aksjomaty (wyjściowe założenia), a nawet różne reguły rozumowania, ale jeżeli aksjomaty i reguły wnioskowania zostały ustalone, to z danych przesłanek wynika ten, a nie inny wniosek i inaczej być nie może. Wynikanie jest czymś, co zespala cały system. Niekontrolowana sprzeczność niszczy wynikanie i wówczas może dziać się cokolwiek, system eksploduje.

Przynajmniej ta część wszechświata, która jest dostępna naszemu bezpośredniemu poznaniu, czyli tak zwany świat makroskopowy, podlega logice klasycznej, a ponieważ nasz mózg ukształtował się w oddziaływaniach ze środowiskiem makroskopowym, ta sama klasyczna logika została zakodowana w funkcjonowaniu naszego mózgu. Ale nasz mózg ma jedną przewagę nad resztą wszechświata – może eksplodować sprzecznościami. Załóżmy, że z przesłanek P wynika wniosek Q i pan Iksiński uznaje przesłanki P, ale twierdzi, że wynika z nich nie Q, lecz cokolwiek. Jego logiczny system w tym momencie eksploduje, ale nie dzieje się nic strasznego. Pan Iksiński nadal ma się dobrze, a nawet dzięki swojej logice może daleko zajść.

Ale jednak... Jeżeli pan Iksiński jest budowniczym mostów lub ważnym politykiem, to na skutek jego decyzji jakiś most może się zawalić lub jakiś kryzys może dotknąć wielu ludzi.

Wszechświat nie jest jednak całkiem odporny na ludzką głupotę.

Tarnów, 1 stycznia 2025 r.