Olga Tokarczuk i matematycy

W „Empuzjonie”, pierwszej ponoblowskiej książce Olgi Tokarczuk, znajduje się krótki fragment na temat gry w szachy. Główny bohater powieści, Mieczysław Wojnicz, nie lubił szachów. Od małego męczył go nimi ojciec, który liczył na to, że gra w szachy uporządkuje niesforny umysł syna. Wszak szachy ćwiczą inteligencję i uczą zdolności przewidywania.

„Mały Mieczysław Wojnicz rozumiał zasady i potrafił wiele przewidzieć, ale go to, prawdę mówiąc, nie interesowało. Poruszanie się według zasad i dążenie do pokonania przeciwnika wydawało mu się tylko jedną z możliwości użycia pionków. Wolał raczej się rozmarzyć i widzieć w szachownicy przestrzeń, w której rozgrywają się losy nieszczęsnych pionków i figur postrzeganych przezeń jako postacie snujące ze sobą lub przeciw sobie skomplikowane intrygi i powiązane najróżniejszymi relacjami. Wydawało mu się marnotrawstwem ograniczanie ich działania do kratkowanej tablicy, oddanie ich na pastwę formalnej rozgrywki według ścisłych reguł”. Gdy tylko ojciec znikał z horyzontu, Mieczyś rozstawiał pionki po całym pokoju i rozgrywał nimi swoje własne scenariusze, pełne przygód i nieoczekiwanych sytuacji. A gdy został na tym przyłapany i „wysłany za karę do swojego pokoju bez kolacji, zdążał tam z godnością skoczka – dwa kroki do przodu i jeden w bok”.

Olga Tokarczuk: Powieść jest nośnikiem obrazów i treści, ale też wskaźnikiem moralnym. Jest w naszym zwariowanym świecie wartością, czymś stałym. Traktuję ją bardzo, bardzo serio >>>>

Ten fragment można zinterpretować jako głos w odwiecznym sporze na temat wyższości humanistyki nad naukami ścisłymi (lub odwrotnie). Z tym, że raczej nie mamy wątpliwości, w którą stronę skłania się autorka tego tekstu. Przecież istotnie marnotrawstwem wydaje się ograniczanie aktywności pionków i figur do sześćdziesięciu czterech pól na szachownicy. Prawdziwa twórczość zaczyna się dopiero wtedy, gdy wychodzi się poza ciasny reżim ścisłych reguł.

Nadmiary

Powiedzmy najpierw coś o ścisłych regułach. Są przede wszystkim ogólne zasady gry: jaka ma być szachownica, jak poruszają się poszczególne figury, co wolno, a czego nie wolno. Tego wszystkiego stosunkowo łatwo się nauczyć. Ale oto ustawiliśmy pionki na szachownicy, pierwszy ruch został wykonany, rozpoczyna się gra. Dopiero teraz ujawnią się mistrzowie i partacze.

Obraz

Czy w matematykę gra się podobnie? Istnieją także wyjściowe założenia, poza które nie wolno wychodzić (aksjomaty), są zasady postępowania, którymi należy się kierować (reguły wnioskowania) i mistrzów również poznaje się w działaniu. A jednak matematycy mają opory, by grę w szachy uznać za teorię matematyczną. Oczywiście, grę w szachy można zmatematyzować – wszystkie programy, wedle których komputery grają – i wygrywają! – z mistrzami szachowymi, są zbudowane z matematyki, ale chodzi o to, czy sama gra jest matematyką.

Niektórzy matematycy, skłonni do kompromisu, mówią, że gra w szachy jest matematyką, ale matematyką nieciekawą. Także dlatego, że jest ograniczona do szachownicy. Owszem, w rozgrywce może dochodzić do ciekawych konfiguracji, życie można poświęcić studiowaniu mistrzowskich partii, ale ostatecznie wszystko polega na przestawianiu figur w obrębie 8x8 pól. Niektóre ­konfiguracje są zaskakująco nowe, nikt ich dotychczas nie przewidział – są nowe, lecz zawsze „w tym samym gatunku”.

Tylko szkolna matematyka wydaje się nudna, a to dlatego, że jest ograniczona czymś tak samo sztywnym jak szachownica – „podstawą programową” i często wyobraźnią nauczyciela. Prawdziwa matematyka jest żywiołowo twórcza. Niemal za każdym razem, gdy się w nią wgryźć odpowiednio głęboko, zaskakuje czymś, czego w żaden sposób nie dało się przewidzieć w punkcie wyjścia. A gdy się doprowadzi do konfrontacji ze sobą dwie teorie matematyczne, to z reguły powstaje nowa teoria, której dwie wyjściowe okazują się szczególnymi przypadkami.

Co więcej, reguły, jakie tym wszystkim rządzą, wcale nie są sztywne. Można je zmieniać w zasadzie dowolnie, z tym, że jeżeli zrobi się to po partacku, to nie otrzymuje się albo nic (teoria jest sprzeczna), albo coś nieciekawego. Ale jeżeli zrobi się to w sposób właściwy, to może nastąpić „wybuch nowości”.

Gdy w XVI wieku Girolamo Cardano, chcąc rozwiązać równanie trzeciego stopnia, wbrew dotychczasowym regułom wprowadził jednostkę urojoną (pierwiastek kwadratowy z minus jeden), spowodował reakcję lawinową w postaci „matematyki zespolonej”, dzięki której, po kilku stuleciach, udało się złamać szyfr otwierający wrota do świata kwantów. W XIX wieku Carl Gauss, János Bolyai i Mikołaj Łobaczewski, niezależnie od siebie, zmodyfikowali tylko jedno założenie (aksjomat) geometrii euklidesowej, otwierając tym samym dostęp do nieograniczonego królestwa geometrii nieeuklidesowych, co utorowało potem Einsteinowi drogę do ogólnej teorii względności (teorii grawitacji) i stworzenia współczesnej kosmologii. A w połowie XX wieku Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane nawet nie zmienili żadnych założeń, podali jedynie trafną definicję nowego pojęcia celem rozwiązania pewnego konkretnego zagadnienia i tym samym, zupełnie „niechcący”, stworzyli nową teorię matematyczną – teorię kategorii, która odmieniła oblicze współczesnej matematyki.

Matematyka jest najlepszym przewodnikiem na drodze do poznania praw przyrody. Ale niełatwo nauczyć się języka, którym przemawia >>>>

Niekiedy tę twórczą własność matematyki nazywa się jej „nadmiarowością”. Jest to cecha, dzięki której w matematyce „otrzymuje się więcej, niż się w nią wkłada”. Widać to szczególnie wyraźnie w zastosowaniach matematyki do fizyki. Jeżeli do jakichś problemów z zakresu fizyki zastosuje się „twórcze pojęcie matematyczne”, to można otrzymać nową teorię fizyczną – tak było z mechaniką kwantową i ogólną teorią względności – która nie tylko jest teorią matematyczną, ale ponadto poprawnie opisuje (modeluje) rzeczywisty świat, ujawniając w nim elementy, o których przedtem „nie śniło się filozofom”.

Zmowa

Jeżeli matematyka jest tak twórcza, to o ileż bardziej działalność literacka (czy też w innych dziedzinach sztuki), której bladym cieniem były zabawy Mieczysia – dziecinne, ale nie wydane „na pastwę formalnej rozgrywki według ścisłych reguł”. Czy literatura (w tym również poezja) ma w ogóle jakieś granice? Jeżeli ma, to jej granicami są granice wyobraźni. A jak działa wyobraźnia? Czy potrafimy wyobrazić sobie coś istotnie nowego, czego dotychczas nigdy nie było? Spróbujmy.

Myśl krąży po nieokreślonych przestworzach, wyławia z nich nieokreślone formy. Próbuje je łączyć na zasadzie zupełnie dowolnych skojarzeń. Czy wykluło się z tego coś zupełnie nowego? Tak. Być może takiej konfiguracji jeszcze nigdy nie było, ale jest to kompozycja z elementów, które już jakoś w naszym magazynie wyobraźni były obecne. Nowość jest więc problematyczna. Kompozycja oczarowująco nowa, ale tworzywo zastane, co najwyżej poddane nieco odmładniającym zabiegom.

Czy można w jakiś sposób przekroczyć granice wyobraźni, dotrzeć do obszarów, do których wyobraźnia nie sięga? Jest na to sposób. Można bowiem ujarzmić działanie wyobraźni, maksymalnie ją wyeliminować i dać się prowadzić ścisłym regułom wynikania. Wyobraźnia bowiem działa w ścisłej zmowie z emocjami. Wyobraźnia wywołuje emocje, a emocje pobudzają wyobraźnię. Wyobraźnia i emocje są ze sobą prawie tożsame. Jeżeli uda się wyeliminować emocje, uda się wyeliminować wyobraźnię i tym samym zniweczyć jej granice.

Przypomnijmy sobie, jak kiedyś wykonywaliśmy proste rachunki i jak bardzo emocje oraz wyobraźnia przeszkadzały nam wtedy w ścisłym myśleniu. Gdy tylko pozwoliliśmy myśli błąkać się po obszarach, które nie wiadomo skąd zjawiały się w naszej świadomości, natychmiast do kolejnego kroku rozumowania wkradało się coś, co nie mało tam prawa bytu. Ciąg wynikań zostawał naruszony i albo rozumowanie urywało się, albo prowadziło na manowce. Matematyka zna jednak mechanizmy, które są w stanie wyciszyć emocje, jeżeli nawet nie całkowicie, to w każdym razie zminimalizować ich działanie.

Istota uczenia się matematyki polega na tym, żeby opanować reguły, które mówią, jak z jednego kroku wynika następny krok – w praktyce, jak z jednego wzoru wynika następny wzór. Im lepiej opanujemy te reguły, tym bardziej nasze postępowanie będzie „zmechanizowane”, czyli tym mniejszy wpływ będą miały na nie emocje. Oczywiście, ­dojście do takiej umiejętności wymaga niemałej dyscypliny, zmuszania uwagi, by pilnowała reguł, a nie rozpraszała się „na boki”. Jest to proces energochłonny, to znaczy podczas jego trwania nasz mózg zużywa dużo energii. Organizm odczuwa to w postaci zmęczenia. Kto nie zmęczył się ścisłym myśleniem, nie wie, co to znaczy zmęczenie. To jest jeden z głównych powodów, dla których ludzie tak często nie lubią matematyki.

Zasady gry

Proces ujarzmiania emocji w matematyce (i innych naukach formalnych) został udoskonalony do postaci tak zwanej metody aksjomatycznej. Polega ona na tym, że wszystkie reguły (i reguły dotyczące reguł) są wyraźnie sformułowane. A więc najpierw założenia; nazywa się je aksjomatami. Winny one spełniać pewne warunki, na przykład nie mogą być wzajemnie sprzeczne; nie powinno ich być za dużo, ale w sam raz tyle, ile potrzeba, by z nich wywieść daną teorię matematyczną. Następnie trzeba skatalogować reguły, pozwalające z aksjomatów wyprowadzać zdania, zwane twierdzeniami, a także z innych twierdzeń, już wyprowadzonych z aksjomatów, wyprowadzać (czyli dowodzić) inne twierdzenia. Zespół udowodnionych twierdzeń tworzy matematyczną teorię.

A gdyby ktoś w metodzie aksjomatycznej dopatrywał się jeszcze zaburzającego działania emocji, to ma do dyspozycji wyostrzenie tej metody w postaci tak zwanego systemu sformalizowanego. Budowę takiego systemu należy rozpocząć od konstrukcji języka. I tak najpierw ustala się alfabet, czyli zestaw symboli, których wolno używać (i tylko ich). Następnie określa się reguły składni, to znaczy reguły, według których wolno łączyć symbole alfabetu w większe całości (zdania).

Symbole alfabetu i utworzone z nich zdania nic nie znaczą. Są elementami czysto formalnej gry, ale żeby gra mogła naprawdę zacząć się toczyć, trzeba jeszcze ustalić pewne zdania jako wyjściowe założenia systemu (aksjomaty) i reguły, wedle których wolno przekształcać jedne zdania w drugie, czyli z jednych zdań wyprowadzać inne zdania. Dopiero teraz możemy przystąpić do właściwej gry, czyli wyprowadzania jednych zdań z drugich, innymi słowy do dowodzenia twierdzeń.

Pozostaje jeszcze nadanie znaczeń symbolom i zdaniom, czyli ich interpretacja. Na przykład pewne symbole możemy potraktować jako liczby, a pewne reguły ich łączenia jako mnożenie liczb. Oczywiście, pod warunkiem, że reguły te mają własności charakterystyczne dla mnożenia.

Jeżeli będziemy przestrzegać zasad gry, emocje zostaną z niej wyeliminowane, zastąpi je mechaniczne stosowanie reguł (może je wykonywać program komputerowy). Nie znaczy to bynajmniej, że emocje nie mogą matematycznej grze towarzyszyć. Matematycy są ludźmi i swoją działalnością często bardzo się emocjonują, ale wynik gry nie zależy od ich emocjonalnego stanu. Przyznać jednak trzeba, że matematycy z metody systemów sformalizowanych korzystają raczej rzadko, zwykle wtedy, gdy jakieś wyniki trzeba uściślić i usystematyzować. Na co dzień praca matematyków bardziej przypomina zwykłą literacką twórczość. Ale nawet wtedy, gdy jakaś matematyczna teoria została wymyślona w euforii i uniesieniu (lub w głębokiej depresji), zanim zostanie uznana za poprawną teorię matematyczną, musi być dokładnie sprawdzona przez niezależnych specjalistów.

Ponieważ wyniki matematyczne nie zależą od wyobraźni, nie podlegają jej ograniczeniom. Czyli mogą doprowadzić w regiony, do których wyobraźnia nie sięga. Matematyczna twórczość i jej zastosowania do fizyki nie polegają jedynie na układaniu znanych elementów w nowe kompozycje, lecz również tworzą coś, czegośmy sami przedtem w nie nie włożyli. Właśnie dlatego są nadmiarowe. Ponieważ matematycy w swojej pracy nierzadko doświadczają (bardzo emocjonalnie) tej własności matematyki, często zadają sobie pytanie: czy matematykę tworzy się, czy się ją odkrywa?

W Babel

A czy Olga Tokarczuk swojego „Empuzjona” stworzyła, czy odkryła? Oczywiście stworzyła, nie ma co do tego żadnych wątpliwości! No to posłuchajmy.

Argentyński pisarz Jorge Luis Borges napisał opowiadanie-esej „Biblioteka Babel”. Pomysł jest czysto literacki, ale matematycznie sprowadza się do następującego zagadnienia. Mamy do dyspozycji (w języku hiszpańskim) 25 znaków (22 litery, spacja, kropka i przecinek) i wszystkimi ich możliwymi kombinacjami mamy wypełnić 410 standardowych stron druku (każda strona ma 40 linii, każda linia ma 80 znaków). Biblioteka Babel zawiera wszystkie napisane w ten sposób książki. Oczywiście znajduje się wśród nich cała masa bezsensownych zestawów liter, spacji, kropek i przecinków, ale – jak rodzynki w cieście – znajdują się tam również perły literatury, już napisane, jeszcze nienapisane i takie, które nigdy nie będą napisane. Biblioteka jest gigantyczna! Żaden sprzęt informatyczny nie byłby w stanie jej przechować. Ale nie nieskończona.

Policzmy: jeżeli każda książka ma liczyć 410 stron, każda strona 40 linijek i każda linijka 80 znaków, to wymnażając te liczby, otrzymujemy 1 312 000 znaków na książkę. Ponieważ znaków jest 25, liczba wszystkich książek wynosi ­ 25 do potęgi 1 312 000. Jest to liczba niewyobrażalnie wielka. Dla porównania, liczbę wszystkich jąder atomowych we wszechświecie ocenia się na 10 do potęgi 80. W tym ogromnym mnóstwie mieści się naprawdę wszystko! Gdyby jakimś cudem jakaś książka zginęła z biblioteki Babel, nic straconego: i tak znajduje się tam więcej niż 30 milionów innych książek, które różnią się od zaginionej o jeden znak.

Czy więc Olga Tokarczuk stworzyła dzieło pt. „Empuzjon”, czy je tylko odnalazła w przepastnej bibliotece Babel i wydobyła na światło dzienne? A może twórczość polega (tylko!?) na tym, że z nieskończonych labiryntów bibliotek Babel odrzuca się wszystko, co w nich poskładane, a co nie jest tą jedyną – twoją – formą, która czekała, byś ją wreszcie odnalazł. Podobnie jak to jest z Pietą Michała Anioła, od zawsze istniejącą w bryle marmuru, a dłuto artysty było potrzebne jedynie do tego, by odłupać zbyteczne kawałki kamienia, które ją ukrywały.

Jak długo autor musi błądzić po korytarzach biblioteki Babel, aż odnajdzie to, czego szuka?

Rachunki

Matematyka ma także swoją bibliotekę Babel; znajdują się w niej wszystkie możliwe teorie matematyczne. Jest ona znacznie bardziej przepastna niż literacka biblioteka Babel. Mamy prawo domyślać się, że jest nieskończona, zapewne wykraczająca poza to, co jesteśmy w stanie pomyśleć lub sobie wyobrazić. Mimo tego ogromu, matematycy poruszają się w niej (ściślej: w jej małym zakątku) znacznie sprawniej niż poeci wśród labiryntów literackiej biblioteki Babel. Dzięki swoim ścisłym metodom matematycy skutecznie docierają do obszarów, do których sama tylko wyobraźnia nigdy by ich nie doprowadziła. Co więcej, postępy fizyki w ostatnich trzystu latach wymownie przekonują, że aby zrozumieć Wszechświat, nie wystarczy eksplorować najbardziej dostępne dla naszej wyobraźni obszary matematycznej biblioteki Babel.

Rozmiary zarówno literackiej, jak i matematycznej biblioteki Babel wyraźnie wskazują, że nie dają się one pomieścić we wszystkich możliwych połączeniach neuronów naszego mózgu, ale żeby tworzyć – czy to literacko, czy matematycznie – nasz mózg musi mieć jakiś (tajemniczy) kontakt z głębokimi obszarami tych bibliotek.

Książka uzasadniająca na czterystu dziesięciu stronach, że literatura jest jednak dla idiotów, na pewno znajduje się na jednej z półek literackiej biblioteki Babel, ale to, że zdania „dwa plus dwa nie równa się cztery” (przy zwyczajnym rozumieniu dodawania i równości) nie ma w żadnej książce matematycznego Babelu, może zrozumieć nawet człowiek, który szczyci się tym, że nigdy nie rozumiał matematyki (zapewne dlatego, że w szkole podstawowej miał złego nauczyciela „od rachunków”). ©