Jak z prostych reguł powstaje skomplikowany świat

Mój ulubiony rysunek Marka Raczkowskiego przedstawia małpoluda w jaskini, w skupieniu przygryzającego palce nad skomplikowanym problemem. Leżą przed nim trzy klocki: kwadratowy, okrągły i trójkątny. Na ziemi deseczka z trzema otworami: kwadratowym, okrągłym i trójkątnym. Jego małpioludzia żona rzuca w przelocie: „Idę spać. Nie siedź do późna”. 

Kiedy myślę o tym rysunku, zawsze wyobrażam sobie kosmitów patrzących na nas z rozczuleniem z orbity, jak próbujemy skwantować grawitację albo wymyślić lek na raka. 

Wszystko jest złożone, dopóki nie stanie się proste

Rozważmy nieco poważniej pytanie, czy włożenie właściwego klocka do właściwego otworu to „trudny” problem? Ponieważ niżej będziemy raczej mówić o złożoności niż trudności, możemy też zapytać, czy „Ala ma kota” to złożony tekst, albo czy młotek to narzędzie o dużej złożoności. Jest parę sposobów na zmierzenie się z tego typu pytaniami. 

Pierwszy odruch to prawdopodobnie odpowiedź: to zależy. Ten sam problem może być trudny dla małpoluda – albo dla maluszka, który jeszcze z trudem operuje motoryką małą – ale prosty dla mnie i dla większości dorosłych ludzi. Podobnie, ten sam tekst będzie miał wysoką złożoność lub niską złożoność, zależnie od tego, kto pyta. Krótko mówiąc, z takiego punktu widzenia złożoność nie jest obiektywną cechą problemu albo tekstu, albo układu, tylko czymś, co wyłania się w relacji z konkretną osobą.

Ma to sens, ale są z tym pewne problemy. Przykładowo, tak rozumiana złożoność spada wraz ze wzrostem naszego zrozumienia. Fizyk-noblista Richard Feynman pokpiwał sobie z matematyków i ich skłonności do nadużywania słowa „trywialny”. W autobiografii („Pan raczy żartować, panie Feynman!”) opisuje siedzących przy tablicy studentów, w pocie czoła wykańczających dowód pewnego twierdzenia. W pewnym momencie wszystko staje się jasne – a więc oczywiste, a więc „trywialne”. „Matematycy dowodzą tylko trywialnych twierdzeń, ponieważ każde udowodnione twierdzenie jest trywialne”, stwierdza ostatecznie Feynman.

Podobne sytuacje znamy doskonale z własnego życia. Do dziś pamiętam, jaką frustrację czułem, gdy pierwszy raz pokazano mi dzielenie pisemne („pod kreską”). Przecież to jakaś abrakadabra! Całe szczęście Magda z klasy zręcznie mi to wyjaśniła, po czym okazało się, że jest to tak naprawdę bardzo proste. Zauważmy, że w grę wchodzi tu coś więcej niż sam emocjonalny „ciężar” problemu (trudne-łatwe); redukcji uległa również jego wewnętrzna, ilościowa złożoność (skomplikowane-proste). Gdy już rozumie się logikę dzielenia pod kreską, kilkadziesiąt osobnych operacji matematycznych, których czysta liczebność może z początku przytłoczyć, nagle okazuje się wielokrotnym ponawianiem tych samych kilku kroków.

To samo uczucie redukcji towarzyszy zrozumieniu, o co chodzi w konkretnym zadaniu na teście IQ typu logiczno-matematycznego, jak matryce progresywne Ravena. To te kratki trzy na trzy, jakby stworzone do gry w kółko i krzyżyk, jednak po ich 9 polach wędrują kropki lub kreski. Zadanie polega na wymyśleniu, jak ułożą się w ostatnim kadrze. Gdy się już to „zobaczy”, chaos ulega uporządkowaniu. Aha, więc to nie jest dwadzieścia osobnych kropek, tylko jedno śmigiełko kręcące się w prawo i jedna kropka wędrująca w lewo! To również przemiana typu „duża liczba przypadkowych faktów – niewielka liczba form porządku”. 

Hm. A może dałoby się to zmierzyć?

Linijka do złożoności

Dokładnie taka idea kryje się za wieloma „miarami złożoności”. To kontra wobec naszego pierwszego odruchu – może poziom złożoności dałoby się jednak wyznaczyć ilościowo? 

Zacznijmy od zawężenia problemu: chcemy wyznaczyć złożoność pewnej treści – obrazu, tekstu, dźwięku – co w praktyce oznacza poziom złożoności pewnej sekwencji znaków albo liczb (rysunek można na przykład opisać tak, jak robią to komputery – kodując kolor każdego piksela albo tworząc jego uproszczoną wersję złożoną z rozmaitych plam barwnych). Idea za bardzo popularną miarą tego typu, tzw. złożonością obliczeniową Kołmogorowa, jest następująca: sekwencja jest tym bardziej złożona, im dłuższy jest opis pozwalający na jej wygenerowanie. Niektórzy twierdzą też, że bardziej złożona sekwencja jest też bardziej interesująca, ponieważ jeżeli można o niej więcej powiedzieć, to można się też o niej więcej dowiedzieć.

Rozważmy trzy przykładowe sekwencje. Pierwsza to (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1...) , druga to (1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221...), a trzecia taka oto: (0, 0, 0, 0, 2, 82, 982, 7002, 34568...). Załóżmy też, że każda z tych sekwencji składa się z miliarda elementów. Tę pierwszą można skrócić do dwóch słów języka polskiego: „miliard jedynek”. Ta druga, nazywana czasem sekwencją Conwaya, z początku wygląda trochę tajemniczo, ale ma w gruncie rzeczy dość prostą strukturę. Każdy jej kolejny element to „opis” poprzedniego. Zaczynamy z definicji od „1”. Jest to „jedna  jedynka” („1 1”), stąd następny element to „11”. „11” to „dwie jedynki” – czyli „21”. To zaś z kolei „jedna dwójka, jedna jedynka”, czyli „1211”. A to „jedna jedynka, jedna dwójka, dwie jedynki”, czyli „111221”. Fajne, prawda? Trzecią sekwencję zostawmy sobie na później.

Złożoność obliczeniowa Kołmogorowa bardzo interesuje programistów. Po co zajmować miejsce na dysku komputera miliardem jedynek, skoro „dokładnie ta sama informacja” będzie zawarta w krótkiej komendzie „Napisz jedynkę miliard razy”. Pomysł ten bardzo dobrze rozwiązuje problem „banalnej złożoności” – sam fakt, że zapiszemy coś sto razy, nie sprawi, że to coś stanie się sto razy bardziej złożone. 

Można by też argumentować, że również lista kolejnych liczb naturalnych (1, 2, 3, 4, 5...), albo sekwencja Conwaya, nie staną się bardziej złożone, jeśli wypiszemy jej więcej członów. Tysiąc kolejnych liczb naturalnych i milion kolejnych liczb naturalnych to obiekty tak samo złożone – to wciąż ta sama sekwencja, o tej samej – dość prostej – logice, a tylko widzimy jej mniej lub więcej.

Pytanie brzmi oczywiście, jak daleko chcemy to myślenie rozciągać. Przykładowo, czy wszystkie dzielenia pod kreską są tak samo złożone, ponieważ wszystkie są dzieleniami pod kreską? A może wszystkie problemy fizyczne, które da się sprowadzić do tych samych podstaw...?

Czego się nie da skrócić

O ile sam pomysł Kołmogorowa ma swoje zalety, o tyle jest sporo problemów z rzeczywistym wyznaczeniem złożoności danej sekwencji. Jaka konkretnie jest złożoność Kołmogorowa sekwencji samych jedynek?

Pierwszy i oczywisty problem to wybór języka. Ja wybrałem język polski i zapis „miliard jedynek”, co daje 15 znaków (jako dziennikarz wychowany na druku zawsze liczę spacje!). Mógłbym więc uznać, że złożoność tej sekwencji wynosi 15. Gdybym jednak wybrał język angielski, mógłbym napisać „a billion ones” – 14 znaków, a nawet „billion ones” – 12 znaków. Przypuśćmy jednak, że – zgodnie zresztą z intencją Kołmogorowa – przestawimy się na język, który rozumieją komputery, a następnie umówimy się na jakiś uniwersalny język programowania. Złożoność Kołmogorowa zdefiniujemy wówczas jako długość najkrótszego programu w tym języku generującego daną sekwencję. Nawet i to nie gwarantuje jednak sukcesu.

A co z sekwencjami, których nie da się skrócić algorytmicznie? Zauważmy najpierw, że to one są najbardziej „złożone”, ponieważ jedynym sposobem ich zapisu są one same. Prowadzi to, swoją drogą, do kolejnego problemu z tą definicją – czy rzeczywiście sekwencja zupełnie przypadkowych liczb, na przykład losowanych poprzez wielokrotny rzut kością, jest „najbardziej złożona”? 

Zgodnie z takim rozumowaniem książka całkowicie wypełniona zupełnie przypadkowymi literami jest znacznie bardziej złożona od podręcznika fizyki. Jest to tak naprawdę kwestia naszych oczekiwań i intuicyjnego rozumienia słów typu „złożony” czy „interesujący”, zostawmy może jednak ten temat na inną okazję. Dużo ciekawszy jest głębszy problem: nie jest wcale jasne, które właściwie sekwencje są nieskracalne, czasem ani na pierwszy, ani na drugi rzut oka. 

Weźmy pod uwagę naszą sekwencję trzecią: czy da się ją jakoś wygenerować? Czy ma ona jakiś „sens”? I jak się tego w ogóle dowiedzieć? 

Metody wykrywania porządku

Okazuje się, że nie ma czegoś takiego jak „automatyczny detektor porządku”. Czasem, aby zauważyć jakąś formę porządku, trzeba bardzo szczególnej wiedzy, a nawet łutu szczęścia. Ta konkretna sekwencja – nosząca numer A061994 w Encyklopedii Sekwencji Liczbowych OEIS (tak, jest coś takiego!) – opisuje, uwaga, „liczbę sposobów, na jakie można rozmieścić 4 hetmany na szachownicy o rozmiarach n × n tak, aby żaden nie był atakowany”. 

Tajemnicze pierwsze cztery zera reprezentują szachownice o rozmiarach 0×0 (tak, matematycy rozważają nawet szachownice o zerowej liczbie pól), 1×1, 2×2 i 3×3, na których nie da się umieścić czterech hetmanów tak, by nie atakowały się nawzajem (na szachownicy 1×1 zmieścimy siłą rzeczy tylko 1 hetmana, a na szachownicach 2×2 i 3×3 cztery hetmany będą się w oczywisty sposób atakować). Na szachownicy 4×4 da się to jednak zrobić – na dwa sposoby. Na szachownicy 5×5 da się to zrobić na 82 sposoby i tak dalej.

Rzecz w tym, że nie ma żadnego automatycznego algorytmu wykrywania porządku, który by po prostu „wpadł” na to, że istnieje gra w szachy. Istnieją oczywiście rozmaite metody wykrywania porządku, które poradzą sobie z niektórymi typami regularności, a nawet zasugerują, że w danej sekwencji prawdopododobnie kryje się jakiś porządek, nie da się jednak stworzyć programu, który pewną powtarzalną metodą wyznaczy złożoność Kołmogorowa. Fakt ten został już nawet formalnie dowiedziony.

Choć więc wydawało się z początku, że definicja Kołmogorowa jest „obiektywna”, ostatecznie okazuje się silnie uzależniona od wiedzy człowieka, który próbuje ją zastosować. Ta zaś zawsze jest skończona. Pomyślmy choćby o sekwencjach, które wyłaniają się wyłącznie w kontekście jednej gry planszowej – a liczba wariantów tej gry jest nieskończona. Trzeba by nieskończonego umysłu, aby wykluczyć hipotezę, że miliard liczb wylosowanych przy użyciu doskonałego generatora liczb losowych nie ułoży się przypadkowo w sekwencję, którą można by też wygenerować w odwołaniu do jakiejś nieopisanej jeszcze gry planszowej. A może dla Nieskończonego Umysłu, zdolnego do wymyślania nieskończonej liczby form porządku, każda sekwencja ma jakiś wewnętrzny porządek?

Co wie nieskończona inteligencja

„Czym jest nieskończona inteligencja? – zapyta może czytelnik. Nie ma teologa, który by jej nie próbował określać; ja wolę przykład. Kroki, jakie stawia człowiek, od dnia swych narodzin aż do dnia swej śmierci, kreślą w czasie niepojętą figurę. Boska inteligencja kreśli tę figurę od razu, tak jak inteligencja ludzka kreśli trójkąt” – pisał Jorge Luis Borges w eseju „Zwierciadło tajemnic”. Spróbujmy wyobrazić sobie, jak by to było być taką istotą! 

Boska inteligencja, patrząc na trajektorię mojego życia, rozumie ją całkowicie i z poczuciem oczywistości, jakie odczuwam ja, patrząc na trójkąt równoboczny. Fakt, że za chwilę pójdę z gabinetu do kuchni, żeby zrobić kolejną kawę, jest dla niej tak samo geometrycznie oczywisty, jak dla mnie oczywisty jest fakt, że trójkąt ma trzy wierzchołki.

Nieskończona inteligencja mogłaby uznać, że trójkąt i trajektoria mojego życia są równie „proste” – ot, dwie figury geometryczne! – a tylko jedna z nich ma więcej zawijasów niż druga. Nawet i nasz ludzki, ograniczony intelekt był w stanie pojąć, że wszystkie wyobrażalne krzywe da się uzyskać jedną i tą samą metodą, jako sumę pewnej liczby bardzo prostych, elementarnych funkcji typu sinus – to tzw. szereg Fouriera. 

Jeżeli dodamy do siebie kilkadziesiąt odpowiednio dobranych „sinusów”, powstanie sylwetka psa, a dowolnie duża liczba sinusów dowolnie blisko przybliży nam kształt granic Polski. Wszystkie możliwe kształty są więc tak naprawdę jedną i tą samą rzeczą, do której podstawia się tylko różne numerki. Czy są więc równie proste?

Czym jest elementarny automat komórkowy

Wróćmy jednak jeszcze do samej idei, że złożoność czegoś można wyrazić poprzez złożoność opisu tego czegoś. Kryje się tu więcej smaczków. Rozważmy nieskończony rząd kwadratowych pól sąsiadujących ze sobą bokami („szachownica o wymiarach jeden na nieskończoność”), z których każde może być albo w stanie „biały”, albo „czarny”. 

Rozpoczynamy od wypełnienia tych pól w dowolny wybrany sposób. Dorysujmy następnie, tuż poniżej, kolejny rząd takich pól, jednak ten wypełniamy na podstawie stanu wyższego rzędu według pewnych ściśle określonych reguł. I potem następny, trzeci rząd, wypełniony ściśle według stanu drugiego, i tak dalej. Gdy tylko wyznaczymy stan początkowy górnego rzędu i „reguły gry”, cała nieskończona przestrzeń wypełni się jakby automatycznie.

Przykładowa prosta reguła to „zasada kopiowania”: każde pole jest dokładnie takie, jak pole tuż nad nim. I tyle. Przyjmijmy zapis pól w postaci zer i jedynek: „0” symbolizuje białą kratkę, a „1” – czarną. Jeżeli w pierwszym rzędzie umieścimy jedno pole czarne (...0001000...), to nasz „świat” będzie miał postać czarnej pionowej kreski: wszystkie pola pod tym jednym będą czarne, a wszystkie pozostałe będą białe. Można też łatwo wyobrazić sobie „świat”, w którym każdy kolejny wiersz to kopia poprzedniego, ale przesunięta o jedno pole w prawo. Albo świat, który „ucina każdą historię”: bez względu na wszystko, stan każdego pola staje się biały. I tak dalej.

Tego typu nieskończona szachownica nosi formalnie nazwę „elementarny automat komórkowy”. W podstawowej wersji zakłada się, że stan danego pola zależy tylko i wyłącznie od stanu trzech pól, które znajdują się powyżej: tego bezpośrednio sąsiadującego od góry oraz sąsiadów „na ukos” z lewej i z prawej. Przykładowo: „jeżeli trójka pól nade mną to 101, to ja będę 1” i tak dalej. 

Kto ma ochotę trochę podłubać w matematyce tego modelu, zorientuje się, że w tak zdefiniowanym „świecie” istnieje dokładnie 256 różnych kompletnych zbiorów zasad, nazywanych Regułami. Matematyk Stephen Wolfram opisał w 1983 roku „standardową” notację tych reguł, a dzisiejsi wielbiciele elementarnych automatów komórkowych znają ich numery niemal na pamięć!

Gra w życie

Komuś, kto zagłębi się w te struktury, może się wydawać, że obcuje ze światem, który żyje swoim własnym życiem. To dobre skojarzenie. Wspomniany już Conway nazwał pewien wyjątkowo płodny automat komórkowy „grą w życie”, a biolodzy do dziś wykorzystują tego rodzaju programy komputerowe, by symulować zachowania organizmów w środowisku czy przebieg ewolucji.

Wspomniany wyżej zbiór zasad, który przekształca każdy możliwy układ pól w pole białe, to Reguła 0. Są też zestawy reguł – jak Reguła 4, 108 albo 218 – które szybko sprowadzają każdy możliwy stan początkowy do „stanu stacjonarnego”, który już nigdy nie ulega zmianie. Reguła 60 potrafi wygenerować niekończącą się strukturę zbudowaną z zagnieżdżonych w sobie trójkątów, do złudzenia przypominającą słynny fraktal zwany trójkątem Sierpińskiego. Są też reguły „pod specjalnym nadzorem”, zwłaszcza owiana mistyczną aurą Reguła 110, która generuje szalenie skomplikowany „świat” pełen wyłaniających się „nagle”, wędrujących i „zderzających się” ze sobą nawzajem struktur. 

Komuś, kto zagłębi się w te struktury, może się wydawać, że obcuje ze światem, który żyje swoim własnym życiem. To dobre skojarzenie. Wspomniany już Conway nazwał pewien wyjątkowo płodny automat komórkowy „grą w życie”, a biolodzy do dziś wykorzystują tego rodzaju programy komputerowe, by symulować zachowania organizmów w środowisku czy przebieg ewolucji.

Elementarne automaty komórkowe mają swoich zagorzałych fanów, którzy do dziś odnajdują w nich nowe ciekawostki estetyczne i matematyczne. W 1998 roku matematyk Matthew Cook przedstawił dowód matematyczny, że Reguła 110 generuje coś w stylu „uniwersalnego komputera”: na wędrujących strukturach w świecie opisywanym przez tę regułę można dokonywać obliczeń.

Dla nas najciekawszy jest jednak fakt, że opis Reguły 110 generującej skomplikowany, fascynujący świat, jest dokładnie – dokładnie! – tej samej długości, co opis Reguły 0 generującej... cóż, nieskończoną pustą przestrzeń. Zastosowanie definicji Kołmogorowa do automatów komórkowych prowadzi więc do kłopotliwego wniosku, że pusta przestrzeń jest dokładnie tak samo „złożona”, co uniwersum tętniące od nieoczywistych form aktywności.

Manipulacja zbiorem Mandelbrota

Podobne przypadki są znane, jak matematyka długa i szeroka. Struktury o niebywałej złożoności sąsiadują o włos ze strukturami kompletnie „pustymi”. 

Klasyczny przykład to podwójne wahadło: wahadło doczepione do wahadła. Ten niepozorny układ jest od dawna znany ze swojego nieprzewidywalnego zachowania – odpowiednio ustawione wahadło będzie bujać się w chaotyczny, niemożliwy do przewidzenia sposób. Rzecz jednak w tym, że czasem podwójne wahadło buja się w całkowicie przewidywalny, regularny sposób, zupełnie jak jego grzeczny pojedynczy kuzyn wyznaczający sekundy zegarowi ściennemu. 

Cały dowcip polega na tym, że wahadło chaotyczne może różnić się od wahadła regularnego („periodycznego”) o ułamek milimetra początkowego ustawienia. Złożoność ruchów wahadła pojawia się nagle, niespodziewanie, bez żadnego dodatkowego zastrzyku złożoności „na zaczyn”.

Trudno też nie wspomnieć o zbiorze Mandelbrota – jednym z najsłynniejszych fraktali, czyli geometrycznych obiektów, które można powiększać bez końca, ciągle odnajdując w nim coraz to nowe szczegóły. W przeciwieństwie do wielu klasycznych fraktali, jak wspomniany wyżej trójkąt Sierpińskiego, jego „samopowtarzalność” nie jest idealna geometrycznie. Zbiór Mandelbrota zawiera w sobie, zupełnie dosłownie, nieskończoność rozmaitych form. 

I w tym przypadku można jednak przy pomocy jednej prostej manipulacji wykasować całą tę złożoność: wystarczy, przykładowo, zmienić jedną cyferkę w równaniu generującym zbiór Mandelbrota z dwójki na zero, a powstanie... okrąg.

Tego typu przypadki wydają się wywracać do góry nogami nie tylko koncepcję złożoności Kołmogorowa, ale przede wszystkim nasze intuicje dotyczące tego, czym jest złożoność i skąd się bierze. Jest zrozumiałe, że coś złożonego może nam wygenerować coś złożonego. Ale jak to się dzieje, że coś prostego nagle jakby eksploduje, generując nieprzewidywalne bogactwo form, podczas gdy jego równie nudny sąsiad nie robi zupełnie nic? 

Pierwsza nieciekawa liczba

Nie mogę jednak oprzeć się myśli, że za tym wszystkim kryje się jeszcze jedno nieporozumienie. Jest krok, który wykonaliśmy za szybko. Za „absurdalny” uznaliśmy fakt, że przepisy o dokładnie tej samej długości (a więc i dokładnie tej samej złożoności Kołmogorowa) generują zarówno pustą przestrzeń, jak i „uniwersum tętniące od nieoczywistych form aktywności” – albo okrąg i zbiór Mandelbrota, który jest oczywiście bardziej złożony od okręgu. A może to wcale nie jest tak oczywiste?

Przypomnijmy sobie jeszcze Nieskończony Intelekt, który jest w stanie odkryć coś ciekawego – jakąś formę porządku – w każdej sekwencji liczb. Jest taki zabawny paradoks „najmniejszej nieciekawej liczby”. Wiele liczb jest „ciekawych”, czyli ma cechę charakterystyczną odróżniającą ją od wszystkich innych liczb. Przykładowo, 1 to najmniejsza liczba naturalna. 2 to najmniejsza liczba pierwsza. 3 to najmniejsza nieparzysta liczba pierwsza. 4 to najmniejsza liczba złożona, czyli taka, którą można uzyskać, mnożąc dwie liczby całkowite mniejsze od niej samej. Siłą rzeczy, któraś liczba musi być więc pierwszą nieciekawą liczbą? Niestety, okazuje się, że to bardzo ciekawe być pierwszą nieciekawą liczbą.

Genialny indyjski matematyk Srinivasa Ramanujan trafił kiedyś do szpitala. Jego przyjaciel, angielski matematyk Godfrey Hardy napomknął podczas odwiedzin, że jechał do szpitala taksówką o zupełnie nieciekawym numerze 1729 – oby to nie był zły omen! Ramanujan zdziwił się, skąd ten pomysł, bo przecież 1729 to najmniejsza liczba, którą da się wyrazić na dwa różne sposoby jako sumę dwóch liczb podniesionych do trzeciej potęgi (1729 to zarówno 1³+12³ oraz 9³+10³). A to był tylko Ramanujan! Logiczne jest więc, że dla Nieskończonego Intelektu wszystkie liczby są ciekawe.

Wiecznie zaskakujący trójkąt

Gdy odrobinę pociągniemy tę myśl, łatwo wyobrazić sobie, że dla Nieskończonego Intelektu okrąg może być równie fascynujący i równie pobudzający do myślenia, co zbiór Mandelbrota. Więcej nie tylko nie znaczy „lepiej” – nie znaczy też „ciekawiej”! Antoine de Saint-Exupéry napisał, że doskonałość osiąga się nie wtedy, gdy już nie można nic dodać, lecz wtedy, gdy nie można już nic ująć. 

Niektórzy twierdzą, że poezja jest właśnie sztuką maksymalnej kondensacji, a najbardziej elegancka jest ta forma, która mieści najwięcej w najmniejszym. Kto wie, może Nieskończony Intelekt potrafi czerpać nieskończoną inspirację z okręgu, albo pustej przestrzeni, wiecznie odnajdując w nich coś nowego, a tylko ludzki umysł potrzebuje fraktalnych zawijasów i skaczących cyferek, aby uznał coś za interesujące? 

Tak, to zdecydowanie kusząca wizja: że gdzieś wysoko ponad wytężonym z wysiłku małpoludem wisi Boski Intelekt, z fascynacją wpatrzony w trójkąt, który wciąż nie przestaje go zaskakiwać.

Artykuł pochodzi z katalogu Copernicus Festival 2026: „Złożoność”, który ukaże się 12 maja wraz z numerem 20 „Tygodnika”. Tegoroczny festiwal potrwa od 19 do 24 maja. Program i więcej informacji: www.copernicusfestival.com