Najpiękniejsze prawo Keplera. Matematyka istnieje niezależnie od nas

Czym jest matematyka? Pewien dość popularny pogląd głosi, że wyłącznie wytworem kultury, czyli przejawem społecznego współdziałania naszych umysłów, ukształtowanych przez darwinowską ewolucję. Kulturę miałaby tworzyć ewolucja sieci naszych społecznych przystosowań i zachowań. W takim ujęciu kultura, a więc i matematyka, wynika w całości z tego, co materialne. W szczególności ani do kultury, ani do matematyki nie jest potrzebna transcendencja: byt materialny całkowicie określa naszą świadomość.

Wątpię, czy takie filozoficzne fantazje pasują do rzeczywistego świata. Jeśli bowiem matematyka jest tworem naszych umysłów ukształtowanych w wyniku ewolucji czy efektem interakcji społecznych, to dlaczego miałaby zawierać – sama w sobie – zdolność, na przykład, do objaśniania zachowania elektronów w bardzo silnym polu magnetycznym?

Matematyczne zdolności nie dają żadnych ewolucyjnych korzyści w osobniczym przetrwaniu lub sukcesie reprodukcyjnym. Nie przekładają się też na sukcesy społeczne – ponadprzeciętna znajomość matematyki nie gwarantuje ułatwień w karierze towarzyskiej lub politycznej. Wręcz przeciwnie – matematyczna biegłość wiąże się zazwyczaj z cechami charakteru, które mogą bardzo zaszkodzić w karierze, co pięknie zilustrował Jan Potocki w „Rękopisie znalezionym w Saragossie” na przykładzie losu księcia Velasqueza.

Natomiast wręcz komiczną bezużyteczność matematyki w działaniu najmniejszej społecznej komórki – w małżeństwie – wykpiwało wielu autorów, w tym bardzo dosadnie Jan Kochanowski we fraszce „Na matematyka”: „Ziemię pomierzył i głębokie morze, / Wie, jako wstają i zachodzą zorze; / Wiatrom rozumie, praktykuje komu, / A sam nie widzi, że ma kurwę w domu”.

Jeśli więc matematyki nie da się sprowadzić wyłącznie do naszej biologii czy kultury, to w jaki sposób pojawia się ona w naszych umysłach?

Tego, rzecz jasna, nikt nie wie.

Cztery proste twierdzenia

Matematyka jest czymś o wiele bardziej tajemniczym niż szkolny zbiór „różnych mądrości – logarytmów, wzorów i formułek”, tak nazwany przez Tuwima. Tę zagadkową tajemniczość dostrzegam, na przykład, porównując cztery matematyczne zdania, które są twierdzeniami dotyczącymi liczb naturalnych. Każde z nas rozumie jasno, dokładnie, bez żadnych wątpliwości, ich sens:

1. Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, czyli takich, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie: 2, 3, 5, 7...

2. Istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych par liczb pierwszych, czyli par liczb pierwszych różniących się o 2: (3, 5), (5, 7), (11, 13)...

3. Między każdą liczbą naturalną n większą niż 1 oraz liczbą 2n istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza. Na przykład, pomiędzy n=4 oraz 2n=8 istnieją dwie liczby pierwsze: 5 oraz 7.

4. Każda liczba parzysta większa niż 2 daje się zapisać jako suma dwóch liczb pierwszych (niekoniecznie różnych). Na przykład 6=3+3, 8=5+3...

Prawdziwości pierwszego twierdzenia dowiódł Euklides ponad dwa tysiące lat temu. Do zrozumienia dowodu nie są potrzebne wybitne zdolności matematyczne: nawet przeciętnie uzdolniony uczeń szkoły średniej może za pierwszym razem, w pełni, zrozumieć krótki dowód Euklidesa. Co więcej: moim zdaniem prawie każdy trochę tylko bardziej niż przeciętnie zdolny uczeń może całkiem samodzielnie wpaść na sposób dowodu.

Drugie twierdzenie także znane było już Euklidesowi. Ale ani Euklides, ani nikt po nim nie potrafił – przez ponad dwa tysiące lat! – dowieść jego prawdziwości lub obalić je jako fałszywe, mimo licznych prób podejmowanych przez najwybitniejszych matematyków w każdym pokoleniu.

Trzecie twierdzenie jest prawdziwe. Jego dowód podał w 1852 r. rosyjski matematyk Pafnutij Czebyszew, a bardziej elegancką wersję dowodu przedstawił węgierski matematyk Paul Erdős w 1932 r. Dowód jest bardzo trudny: wymaga dobrej znajomości pewnych działów matematyki wyższej. 

Wreszcie czwarte twierdzenie, znane pod nazwą hipotezy Goldbacha, jest nieudowodnione: nikt nie wie, czy jest prawdziwe; większość matematyków przypuszcza, że tak.

Skąd te różnice? Dlaczego wśród bardzo prostych stwierdzeń dotyczących własności liczb naturalnych, których sens wszyscy bez trudu rozumieją, jedne są bardzo łatwe w dowodzie (nawet gdy dotyczą spraw fundamentalnych), inne bardzo trudne, a jeszcze inne tak trudne, że od tysięcy lat nikt nie potrafi wykazać ich prawdziwości lub fałszywości?

Tego nikt nie wie.

Matematyka w świecie idei

Niektórzy sądzą, że wyżej opisana zagadka jest jedną z wielu wyraźnych wskazówek na to, iż matematyka na pewno nie jest wytworem naszego umysłu, a jej problemy nie sprowadzają się wyłącznie do zagadnień czysto lingwistycznych. Matematyka jest od nas, naszego języka, naszych kulturowych uwarunkowań i naszych umysłów zupełnie niezależna. Umysł nie tworzy prawd matematycznych, one stoją obok, istnieją niezależnie od nas, a my je odkrywamy podobnie, jak Kolumb odkrył Amerykę. W myśl tego poglądu matematyka należy do autonomicznego świata platońskich idei, odrębnego zarówno od świata materii, jak i od świata umysłu. Dopiero splot świata materii, świata idei i świata umysłu tworzy holistyczną, obiektywną rzeczywistość.

Te trzy światy się nie tylko splatają, ale też wzajemnie implikują. Jest wiele powodów, by twierdzić, że nasz umysł potrafi przeniknąć w tajemniczy sposób bezpośrednio do świata idei, bez pośrednictwa świata materii. Powody dotyczą nie tylko twórczości matematyków, ale także na przykład muzyków. Wolfgang Amadeusz Mozart opowiadał, że niektóre kompozycje nie powstawały w jego głowie stopniowo, mozolnie, nuta po nucie, ale zjawiały się w jednym momencie natchnionego olśnienia, całe, skończone, gotowe.

Świat platońskich idei zawiera w sobie prawdy dotyczące harmonii, piękna i miary, matematykę, prawa fizyki, stwierdzenia moralne oraz koncerty skrzypcowe Mozarta w wykonaniu Alberta Einsteina.

Podobnie o trynitarnej istocie rzeczywistości myślał Platon, a w naszych czasach Karl Popper. Roger Penrose rozpoczyna swoją tysiącstronicową monografię „Droga do rzeczywistości:  w y c z e r p u j ą c y  przewodnik po prawach rządzących wszechświatem” (moje podkreślenie) właśnie od opisu tych trzech światów tworzących rzeczywistość. Jego zdaniem tak się właśnie droga do obiektywnej rzeczywistości zaczyna – od metafizyki.

Pitagorejska harmonia

Ja też od tego punktu zacząłem, bo przecież bez głębokiego przekonania, iż prawdy matematyczne oraz prawa fizyki należą do platońskiego świata idei, nie umiałbym o matematycznym pięknie tych praw sensownie rozprawiać – a nawet rozmyślać.

Dobrze przy tym rozumiem, że zupełnie nieuprawnioną przesadą z mej strony, całkiem także niestosowną, byłyby próby jakiegoś finalnego sformułowania tez na temat piękna praw fizyki. Postąpię więc dużo skromniej: opiszę tu kilka moich uwag na temat piękna i potęgi jednego tylko prawa fizyki: trzeciego prawa Keplera.

Johannes Kepler, jeden z najprzenikliwszych myślicieli w dziejach europejskiej kultury, był mistykiem poszukującym pitagorejskiej harmonii w urządzeniu świata materialnego jako widomego znaku Bożego projektu. Odkryte przez siebie trzecie prawo opublikował w 1619 r. w pracy pod wymownym tytułem „Harmonices Mundi”, podkreślającym kunsztowną harmonię w ruchu planet, które prawo to opisuje.

Głosi ono, że dla każdej planety w Układzie Słonecznym stosunek sześcianu rozmiaru jej orbity wokół Słońca (dziś powiedzielibyśmy technicznie: „półosi wielkiej”) do kwadratu czasu, w którym planeta okrąża Słońce (czyli jej okresu orbitalnego), jest taki sam: wyrażony tą samą – jedną! – „liczbą Keplera” dla wszystkich planet Układu. W prawie Keplera pojawiają się tylko dwie niewielkie liczby naturalne: 2 i 3 (kwadraty i sześciany). Kepler musiał być bardzo szczęśliwy! To była bowiem poszukiwana przez niego pitagorejska harmonia.

Dwa tysiące lat przed Keplerem pitagorejczycy odkryli, że przyjemnie brzmiące harmoniczne interwały muzyczne można zagrać na strunach, których długości wyrażają się poprzez stosunki niewielkich liczb całkowitych. Wysokość tonu zależy od długości struny. Im dłuższa struna, tym niższy ton. Aby otrzymać brzmienie (na przykład) kwinty, należy trącić dwie struny, których długości mają się do siebie jak 3:2. Pitagoras i jego uczniowie zdawali sobie doskonale sprawę z niezwykle doniosłej wagi tego odkrycia: „wszystko jest liczbą” – twierdzili – a realny świat daje się zrozumieć i opisać liczbami, językiem matematyki. Do dziś z tego odkrycia korzystamy, choć przyczyna skuteczności zupełnie przecież abstrakcyjnej matematyki w opisie jak najbardziej realnego świata pozostaje niepojętą tajemnicą.

Ile waży czarna dziura

Ale to nie kończy listy powodów, by uznawać trzecie prawo za mocarnie piękne. Izaak Newton w swym monumentalnym dziele „Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica” wydanym w  1687 r. wyliczył z praw dynamiki oraz prawa powszechnego ciążenia, w tej księdze przez niego samego sformułowanych, że liczba Keplera równa jest masie Słońca, wyrażonej w pewnych naturalnych jednostkach. Stąd wynika, że znając z obserwacji okresy obiegu planet oraz rozmiary ich orbit, można bezpośrednio wyznaczyć liczbę Keplera, czyli zmierzyć masę Słońca!

Nie koniec na tym. Tę samą procedurę można stosować w innych układach planetarnych, w układach księżyców krążących wokół planet, układach gwiazd podwójnych etc., wyznaczając dla każdego z tych układów jego liczbę Keplera, a co za tym idzie: mierząc masę ciała centralnego.

I tak właśnie czynią astronomowie od XVII w. po dziś dzień: jest to najdokładniejszy znany nauce sposób wyznaczania masy ciał niebieskich. Dzięki Keplerowi zmierzyliśmy nie tylko masy, ale także rozmiary wielu obiektów we wszechświecie, bowiem w praktyce łatwiej jest mierzyć czas niż rozmiary albo odległości. Kepler powinien za to już wielokrotnie dostać Nagrodę Nobla.

W 2020 r. Nagrodę Nobla z fizyki otrzymało troje fizyków za prace nad czarnymi dziurami. Roger Penrose (połowę wartości Nagrody) za udowodnienie twierdzenia o tworzeniu się osobliwości w procesie kolapsu grawitacyjnego – w tym procesie powstają czarne dziury. Była to pierwsza Nagroda Nobla przyznana za matematyczne odkrycie w teorii względności – bowiem nawet jej twórca, Albert Einstein, takiej nie dostał; on dostał Nobla za wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego.

Nagrodą podzielili się z Penrose’em (po ćwierci jej wartości) Andrea Ghez i Reinhard Genzel. Oni dostali Nobla za prace obserwacyjne – ten ostatni za dokładne wyznaczenie orbit kilkunastu gwiazd spośród wielu krążących wokół SgrA*, czyli supermasywnej czarnej dziury w centrum naszej Galaktyki. Wyznaczenie rozmiarów i czasów orbitalnych pozwoliło na bardzo dokładne wyliczenie masy tej czarnej dziury bezpośrednio ze wzoru Keplera-Newtona: wynosi ona nieco ponad cztery miliony mas Słońca.

Na tropie ciemnej materii

Zastosowanie prawa Keplera do mierzenia rozkładu masy w naszej Galaktyce doprowadziło w XX w. do poważnego problemu. Rozkład masy znany jest, rzecz jasna, bezpośrednio z obserwacji: „widzimy” bowiem materię oczami naszych teleskopów, radioteleskopów, teleskopów rentgenowskich i podczerwonych, wiemy zatem, ile jest masy zawartej w gwiazdach oraz obłokach gazu i pyłu w różnych odległościach od centrum Galaktyki: znamy rozkład masy obserwowany.

Materia Galaktyki krąży wokół galaktycznego centrum po orbitach, do których rzecz jasna można zastosować prawo Keplera: przy czym rozmiar orbity mierzymy bezpośrednio, a czas obiegu po orbicie pośrednio, ale bardzo dokładnie, mierząc prędkość orbitalną (okresy orbitalne są bowiem zbyt długie, by je mierzyć, wynoszą kilkaset milionów lat). W ten sposób mierzymy stałą Keplera w różnych odległościach od centrum Galaktyki, a stąd wyznaczamy rozkład masy wynikający z prawa Keplera.

Powinno być tak, że rozkład masy obserwowany jest równy rozkładowi masy wynikającemu z prawa Keplera – masa wyznaczona z prawa Keplera powinna być taka sama jak masa materii, którą widzimy. Ale tak nie jest: w naszej Galaktyce i w większości galaktyk, dla których takich pomiarów dokonano, masa wyznaczona z prawa Keplera jest dużo większa niż masa materii, którą widzimy. Innymi słowy: zewnętrzne części Galaktyki obracają się o wiele zbyt szybko – ilość materii, którą widzimy, jest o wiele za mała, aby tak wielką prędkość wyjaśnić. Teoria nie zgadza się z obserwacjami!

To, rzecz jasna, stanowi poważny problem. Większość fizyków i astrofizyków rozwiązuje go, zakładając, że w Galaktyce jest ogromna ilość nieobserwowanej ciemnej materii, której fizycznej natury nie znamy.

Problem ciemnej materii jest jednym z najbardziej palących nierozwiązanych zagadek współczesnej fizyki: odkryte w XVII w. trzecie prawo Keplera na gruncie rozważań metafizycznych, w poszukiwaniu harmonii w świecie, okazało się jednym z najbardziej przydatnych w historii nauki narzędzi do poznawania struktury wszechświata, a w XX wieku doprowadziło na trop tajemniczej ciemnej materii.

MAREK ABRAMOWICZ jest fizykiem teoretycznym i astrofizykiem, specjalistą w dziedzinie ogólnej teorii względności, czarnych dziur i astrofizyki wysokich energii. Profesor Uniwersytetu w Göteborgu i Chalmers University of Technology w Szwecji, wieloletni pracownik Centrum Astronomicznego im. Mikołaja Kopernika PAN oraz Uniwersytetu Śląskiego w Opawie. Podczas Copernicus Festival w paśmie Rozmowa podejmie tematy dotyczące styku fizyki, matematyki i transcendencji.