Wykupienie dostępu pozwoli Ci czytać artykuły wysokiej jakości i wspierać niezależne dziennikarstwo w wymagających dla wydawców czasach. Rośnij z nami! Pełna oferta →
Raz na cztery lata królowa nauk ma swoje święto. Celebruje się je podczas Międzynarodowego Kongresu Matematyków – największego cyklicznego wydarzenia w matematycznym światku. W tym roku miał się on odbyć w Petersburgu, ale rosyjska inwazja na Ukrainę zmusiła Międzynarodową Unię Matematyczną do zmiany planów. Kongres przeniesiono do sieci, ale nie w całości. Najważniejszy punkt programu – uroczystą ceremonię wręczenia Medali Fieldsa – zorganizowano ostatecznie po drugiej stronie Zatoki Fińskiej, w Helsinkach.
Medal Fieldsa, ufundowany równo 90 lat temu przez kanadyjskiego uczonego Johna Charlesa Fieldsa, to najbardziej prestiżowe wyróżnienie, jakie może spotkać matematyka. Choć porównuje się je do Nagrody Nobla, to jest między nimi więcej różnic niż podobieństw. Medal przyznawany jest bowiem co cztery lata (a nie co roku) w jednej tylko kategorii (a nie w pięciu). Otrzymują go dwie, trzy lub cztery osoby poniżej 40. roku życia, natomiast noblistów jest co najwyżej troje i nie obowiązują ich ograniczenia wiekowe. Jest też znaczna różnica pieniężna – każdemu złotemu krążkowi z profilem Archimedesa towarzyszy czek na 15 tys. dolarów kanadyjskich, podczas gdy nobliści w danej kategorii dzielą się kwotą 10 mln koron szwedzkich (przy obecnych kursach to odpowiednio ok. 55 tys. zł i 4,5 mln zł).
Obie nagrody łączy jednak to, że ich laureaci to absolutni mistrzowie w swoim fachu… nie, słowo „fach” nie oddaje w pełni dokonań tegorocznych medalistów. Bardziej pasuje „sztuka”.
Poezja struktur
June Huh nie był zdolnym uczniem, a matematyka wcale go nie pociągała. Nie żeby nie lubił się uczyć – po prostu zupełnie nie mógł się odnaleźć w południowokoreańskiej szkolnej rzeczywistości. W wieku 16 lat rzucił szkołę średnią i postanowił zostać poetą. „Chciałem wyrażać to, co niewyrażalne”, wspomina w jednym z wywiadów. „Później dowiedziałem się, że na swój sposób o to też chodzi w matematyce”. Gdy literackie plany nie wypaliły, studiował fizykę i astronomię, ale bez większego przekonania.
Punktem zwrotnym okazały się zajęcia prowadzone przez Heisukego Hironakę, japońskiego medalistę Fieldsa z 1970 r. Podczas wykładów Hironaka szybko odchodził od standardowego, podręcznikowego materiału. Zamiast tego opowiadał o swoich bieżących pracach, o nierozwiązanych problemach i szkicach nowych twierdzeń. Większość studentów była przerażona, ale Huh – kompletnie oczarowany. Po raz pierwszy zetknął się z żywą, twórczą, nieoszlifowaną matematyką, która wciągnęła go bez reszty. Po kilku latach wytężonej nauki pod okiem Hironaki, który został jego mentorem, przyszły pierwsze naukowe sukcesy.
Huh zajmuje się kombinatoryką, czyli rozległym działem matematyki wyrosłym ze sztuki zliczania, na ile sposobów trzeba (lub da się) coś zrobić. Przykładowo: gdy umieścimy na płaszczyźnie n punktów tak, by nie leżały na jednej prostej, to ile co najmniej prostych musimy narysować, żeby każda para punktów leżała na którejś z nich? Choć brzmi to jak abstrakcyjna geometryczna łamigłówka, tego typu pytania naturalnie pojawiają się np. w teorii kodowania i w kryptologii. Huh zasłynął m.in. właśnie odpowiedzią na wielowymiarową wersję powyższego pytania, znaną pod nazwą hipotezy Dowlinga-Wilsona, z którą zmagano się ponad 40 lat.
W matematyce rzadko jednak chodzi o samą odpowiedź – ważniejsze są idee i narzędzia wypracowane po drodze, które dają wgląd w głębszą strukturę teorii. W swoich badaniach Huh znalazł i wciąż znajduje zadziwiające związki między kombinatoryką, geometrią i algebrą. Za pomocą języka jednej teorii potrafi mistrzowsko wyrazić to, co wcześniej było niewyrażalne w drugiej teorii. Dostrzega subtelne analogie między obiektami, a nawet – jak mawiał Stefan Banach – analogie między analogiami. To matematyczna poezja godna Medalu Fieldsa (powyżej).
Muzyka hipersfer
O tym, że przyznano jej Medal jako drugiej kobiecie w historii, Maryna Serhijiwna Wiazowska – kijowianka pracująca na Politechnice Federalnej w Lozannie – została powiadomiona już w styczniu. Radość przesłaniał jednak niepokój związany z pogarszającą się sytuacją u granic Ukrainy. Gdy zaczęła się wojna, sprowadziła do Szwajcarii swoje dwie siostry z dziećmi i każdego dnia bezskutecznie przekonywała rodziców i babcię, by także opuścili Kijów. Na szczęście nic im się nie stało, niemniej, jak wspomina Wiazowska w wywiadzie dla „Quanta Magazine”, w rozmowach z nimi stałym gorzkim żartem stało się wspominanie „starych dobrych czasów pandemii”.
Główny wynik, który przyniósł Wiazowskiej Medal Fieldsa, dotyczy tzw. optymalnego upakowania sfer. Historia tego problemu sięga 1611 r., gdy matematyk i astronom Johannes Kepler zastanawiał się, jak powinno się układać kule armatnie, by zajmowały jak najmniej miejsca. Kepler postawił hipotezę, że najoptymalniejsze ułożenie to czworościenna „piramidka”, którą dziś możemy kojarzyć ze stoisk owocowo-warzywnych. Rozbudowując taką „piramidkę” na wszystkie strony przy użyciu nieskończenie wielu kul, zapełnimy przestrzeń trójwymiarową w ok. 74 procentach.
Cała sztuka polega jednak na tym, by udowodnić, że lepiej już się nie da. Hipoteza Keplera czekała na formalny dowód prawie 400 lat, aż pod koniec lat 90. dostarczył go Thomas Hales na 250 stronach żmudnego rozumowania, częściowo wspomaganego obliczeniami komputerowymi. W międzyczasie jednak matematycy podbili stawkę pytając, jak kwestia optymalnego upakowania przedstawia się w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów niż trzy.
Podobnie jak w przypadku hipotez kombinatorycznych, które bada June Huh, także układanie wielowymiarowych „hipersfer” nie jest tylko zwykłą łamigłówką. Bezpośrednio wiąże się z teorią tzw. form modularnych – potężnych, wciąż słabo rozumianych obiektów przenikających kilka działów matematyki (a także fizyczną teorię strun). Stosuje się je również przy projektowaniu odpornych na zakłócenia protokołów transmisji danych.
Od lat na dowody czekają odpowiedniki hipotezy Keplera dla czterech, pięciu, sześciu i więcej wymiarów. W 2016 r., po dwóch latach zmagań, Wiazowskiej udało się rozgryźć przypadek 8-wymiarowy, a zaraz potem – już we współpracy z innymi uczonymi – przypadek 24-wymiarowy. Co ciekawe, opracowane przez nią narzędzia są matematycznie dużo bardziej przejrzyste niż te użyte przez Halesa. „Jej artykuł [o przypadku 8-wymiarowym] jest absolutnie oszałamiający”, stwierdza Peter Sarnak, jeden ze specjalistów w tej dziedzinie. „To jedna z takich prac, od której nie możesz się oderwać, dopóki nie doczytasz do końca”.
„Przynajmniej tego żaden tyran nam nie odbierze”, mówi Wiazowska w cytowanym wywiadzie, „tej radości z uprawiania matematyki”.
Choreografia perkolacji
Hugo Duminil-Copin długo nie mógł się zdecydować, czy chce zostać matematykiem czy fizykiem. Fascynowało go to, że fizyka opisuje wszechświat, ale z drugiej strony pociągało go surowe piękno i rygorystyczna nieodpartość matematycznych dowodów. Ostatecznie został więc fizykiem matematycznym, czyli – nieco wbrew nazwie – matematykiem zajmującym się strukturami stosowanymi w różnych teoriach fizycznych.
Studiował w paryskiej École Normale Supérieure – kuźni noblistów i medalistów Fieldsa – a doktorat pisał na Uniwersytecie Genewskim pod kierunkiem Stanisława Smirnowa, rosyjskiego medalisty Fieldsa z 2010 r. Smirnow został nagrodzony za wkład w matematyczne podstawy fizyki statystycznej, a w szczególności za prace z tzw. teorii perkolacji, w której to teorii Duminil-Copin „zakochał się”, jak mówi, „od pierwszego wejrzenia”.
W naukach przyrodniczych perkolacja to przesączanie się cieczy (zwykle wody) przez porowatą lub ziarnistą substancję – może to być gleba albo zmielona kawa. Oczywiście to, czy i jak szybko woda będzie się przesączać, zależy od tego, jak liczne i duże są szczeliny między ziarnami, a także od ciśnienia wody, napięcia powierzchniowego, rozpuszczalności substancji… Dlatego gdy matematycy mówią o perkolacji, mają na myśli pewne uproszczone, wyidealizowane modele tego zjawiska.
Nie miejsce tu na nawet pobieżne omawianie tych modeli – dość powiedzieć, że prace Duminila-Copina w ciągu dekady zrewolucjonizowały matematyczną teorię perkolacji. Wraz ze swoimi licznymi współpracownikami wypracował w jej ramach nowe modele, pojęcia i metody, czerpiąc zarówno z czystej matematyki, jak i z fizyki. Jak to ujmuje jeden z jego kolegów Wendelin Werner, „Hugo w zasadzie rozwiązał połowę otwartych problemów” w swojej dziedzinie. Ale zasiał także spory ferment poza nią – jego idee znacząco wzbogaciły nasze rozumienie przejść fazowych w sieciach złożonych, które odnoszą się do tak różnych układów, jak magnesy, ekosystemy, ziemski klimat czy internet.
Architektura liczb pierwszych
Najmłodszy spośród tegorocznych laureatów to 35-letni James Maynard – Anglik zajmujący się teorią liczb. To obok geometrii najstarsza dziedzina matematyki, skupiająca się zwłaszcza na liczbach pierwszych, czyli takich, które dzielą się tylko przez jedynkę i przez samą siebie. Choć matematycy badają je od tysięcy lat – np. już Euklides udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele – wciąż nie potrafimy odpowiedzieć na wiele podstawowych pytań na ich temat.
Jedno z takich pytań dotyczy tzw. liczb pierwszych bliźniaczych. Są to po prostu pary liczb pierwszych różniących się o 2, czyli np.: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13 itd. Nietrudno się przekonać, że im dalej na osi liczbowej, tym rzadziej napotykamy takie pary. Czy to jednak oznacza, że kiedyś się one kończą? Matematycy są zdania, że nie. Panuje przekonanie, że choć odstępy między liczbami pierwszymi robią się (średnio rzecz biorąc) coraz większe, to zawsze w końcu natrafimy na kolejną parę bliźniaków. Innymi słowy, według tzw. hipotezy liczb pierwszych bliźniaczych takich par jest nieskończenie wiele. Przez wieki nikt jednak nie miał sensownego pomysłu na dowód.
Przełom nastąpił w 2013 r., gdy trzech matematyków niemal jednocześnie i niezależnie (!) wykazało, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych różniących się co najwyżej o pewną liczbę N. Pierwszy był amerykańsko-chiński badacz Yitang Zhang, którego dowód działa dla N równego 70 milionów. Drugi był James Maynard, który innymi, znacznie potężniejszymi metodami otrzymał analogiczny wynik dla N równego 600, później poprawiony do 246. Trzeci był Terence Tao – medalista Fieldsa z 2006 r. i jeden z najwybitniejszych żyjących matematyków. Co ciekawe, gdy Tao dowiedział się o pracy Maynarda, postanowił nie publikować swojego rezultatu, by nie odbierać uznania młodszemu koledze. „Zresztą”, jak sam podkreśla, „wynik Jamesa był znacznie lepiej opisany i ciut mocniejszy od mojego”. Co prawda nie dowodzi to jeszcze hipotezy liczb pierwszych bliźniaczych (ta wymaga N = 2), ale pozwala wierzyć, że i jej dowód jest w naszym zasięgu.
W kolejnych latach Maynard nie przestawał i wciąż nie przestaje zadziwiać, odsłaniając coraz to nowe detale arytmetycznego świata. Niedawno wspólnie z Dimitrisem Koukoulopoulosem rozwiązał 80-letni problem dotyczący przybliżania liczb niewymiernych wymiernymi (tzw. hipotezę Duffina-Schaeffera), a nieco wcześniej wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które nie zawierają danej cyfry (na przykład siódemki). To kolejny przykład „czegoś, nad czym ludzie zastanawiali się od bardzo dawna, ale nikt nawet nie zbliżył się do dowodu”, tłumaczy jego były promotor z Oksfordu Roger Heath-Brown. „Wszyscy jesteśmy ciekawi, co jeszcze uda mu się zdziałać”. ©
