Jak istnieją liczby

Albo zanim w ogóle się narodził. Albo zanim na afrykańskich sawannach wyewoluował homo sapiens. Albo jeszcze przed erą Plancka, gdy Wszechświat liczył sobie zaledwie 10^-43 sekundy, a my nie wiemy, co się w nim działo, bo nie potrafimy tego jeszcze (za pomocą matematyki) opisać.

Na łamach „TP” kilkakrotnie pisaliśmy, w jaki sposób ludzki umysł przetwarza liczby. W tekście „Rachuby ciała” Krzysztof Cipora („TP” 15/15) opisał tzw. efekt SNARC, który sugeruje, że nasze umysły reprezentują liczby na mentalnej osi, rozciągniętej nie tylko gdzieś w przestrzeni, ale również w naszym ciele, m.in. w palcach (zob. też K. Cipora i M. Hohol, „Palce się liczą”, TP 16/15). Badania psychologów, kognitywistów i neuronaukowców nad poznaniem matematycznym nie wywołują jednak wielkiego entuzjazmu u znacznego odsetka matematyków, którym często towarzyszy dziwne przeczucie, że matematyka jest „czymś więcej” i że nie da się jej wyjaśnić, po prostu badając mózg/umysł.

Skąd to tajemnicze przeświadczenie? Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa. Na dobrą sprawę nawet nie wiemy, czy człowiek, któremu przypisuje się udowodnienie, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej, istniał naprawdę – Pitagoras to postać na wpół mityczna. Oczywiście, sam dowód musiał zostać przez kogoś przeprowadzony – inaczej Grecy nie posługiwaliby się tym twierdzeniem. To, czy ten ktoś nazywał się Pitagoras i był założycielem religijnej sekty (pitagorejczyków), czy nie, nie ma znaczenia dla prawdziwości samego twierdzenia. Z perspektywy filozoficznej jednak ma znaczenie fakt, że samo twierdzenie Pitagorasa mogło zostać udowodnione przez kogokolwiek. To nie autor był istotny – ważne były procedury, które zastosował. Właśnie tym matematyka różni się od innej działalności intelektualnej (np. sztuki), że matematyk nie może sobie pozwolić na swobodę twórczości. Twierdzenie Pitagorasa nie mogło głosić, że suma kwadratów długości przyprostokątnych równa jest sześcianowi długości przeciwprostokątnej, podczas gdy sztuka – muzyka, malarstwo czy literatura – nie nakłada takich ograniczeń. W tym sensie prawdziwość twierdzeń matematycznych i obiektywny charakter relacji pomiędzy różnymi matematycznymi obiektami wykraczają poza konkretny ludzki umysł (mózg), który do tej prawdy dochodzi.

Autorem „twierdzenia Pitagorasa” mógłby być również Hindus, Babilończyk czy mieszkaniec imperium Majów, i niebyłoby w tym nic zaskakującego, ponieważ wszystkie te cywilizacje rozwijały matematykę, niezależnie od siebie posługując się tymi samymi obiektami matematycznymi (choć za pomocą różnych symboli). W Babilonie, w Indiach i w państwie Majów dwa dodać trzy równało się pięć. Każda z tych cywilizacji – czego nie można powiedzieć o Grekach – posługiwała się nawet symbolem zera (zobacz: ramka). Możemy się domyślać, że jeśli również w jakiejś odległej galaktyce wyewoluował gatunek o inteligencji zbliżonej do ludzkiej, którego przedstawiciele posługują się liczbami naturalnymi, to również u nich dwa plus trzy równa się pięć. A jeśli znają geometrię – i oni nie mogą się obejść bez twierdzenia Pitagorasa. Zatem jeśli prawda matematyczna nie jest zależna od konkretnego umysłu (mózgu) i jest uniwersalna, to być może matematyka sama w sobie w ogóle nie potrzebuje umysłu, tylko jest od niego niezależna. Jeśli tak jest, matematycy są tymi, którzy odkrywają obiekty matematyczne i obowiązujące pomiędzy nimi relacje.

Niebo pełne równań

Zakładając, że obiekty matematyczne istnieją niezależnie od ludzi, muszą też istnieć poza czasem i przestrzenią. Dlatego pytanie o prawdziwość twierdzenia Pitagorasa nie tylko przed powstaniem człowieka, ale nawet przed Wielkim Wybuchem, czyli przed powstaniem Wszechświata, nie musi być absurdalne. Twierdząco na to pytanie odpowiedzieliby zwolennicy poglądu nazywanego platonizmem matematycznym.

Jest on jednym z głównych stanowisk w filozofii matematyki. Wśród jego zwolenników wymienia się rzeszę wybitnychmatematyków, z George’em Cantorrem i Kurtem Gödlem na czele. Pogląd ten, popularny również wśród filozofujących fizyków i kosmologów, takich jak Roger Penrose, George Ellis czy Michał Heller, swoją nazwę zawdzięcza inspiracjom czerpanym z filozofii Platona. Platonicy matematyczni uważają, że skoro liczby i inne obiekty matematyczne istnieją poza czasem i przestrzenią, to muszą istnieć w jakimś specjalnym królestwie bytów matematycznych – podobnym do platońskiego świata idei. Co ciekawe, sam Platon mógł mieć na temat sposobu istnienia obiektów matematycznych nieco inne zdanie.

Przyjmowana przez platoników ontologia nastręcza problemów epistemologicznych: jakimi władzami poznawczymi musi dysponować człowiek, by móc eksplorować ten świat bytów matematycznych i odkrywać obowiązujące w nim prawa? Sami matematycy najczęściej mówią o posługiwaniu się czymś w rodzaju intuicji czy wglądu, umożliwiających bezpośrednie poznanie matematyczne. Taka odpowiedź, rzecz jasna, nie podoba się psychologom i neurokognitywistom, którzy widzą w platonizmie matematycznym relikt starożytnej, pitagorejskiej quasi-religii lub – w najlepszym wypadku – zużytą metaforę. Zarzuty o religijne nastawienie nie są wyssane z palca – wielu platoników przypartych do muru, wyjaśniając źródła prawdy matematycznej, rzeczywiście odwołuje się do teologii.

Echo średniowiecznego sporu

Istnieją dwa alternatywne dla platonizmu stanowiska: formalizm i intuicjonizm, zwany też konstruktywizmem (w dużym uproszczeniu – i platonizm, i przeciwne stanowiska mogą występować w odcieniach). Według formalizmu, matematycznym obiektom nie można przypisać realnego sposobu istnienia, bo matematyka nie jest nauką o obiektach, tylko nauką formalną o dowodach. Praca matematyka nie polega więc na odkrywaniu obiektywnej prawdy matematycznej i eksplorowaniu świata matematycznych bytów, tylko na dedukowaniu twierdzeń z przyjętych aksjomatów według ustalonych reguł. Z kolei intuicjonizm podkreśla twórczy charakter pracy matematyka. Matematyk tworzy obiekty matematyczne, a te – po skonstruowaniu – zaczynają istnieć, podobnie jak inne wytwory ludzkiej myśli. To, że matematyka rządzi się wewnętrzną koniecznością, ma zapewne związek z tym, że każdy obiekt matematyczny posiada precyzyjną definicję, podobnie jak precyzyjnie definiowane są wszystkie procedury matematyczne. Jak widać, intuicjonizm jest czymś pośrednim między platonizmem a formalizmem.

Początków opisywanego sporu należy szukać w XIX w., gdy narodziły się geometrie nieeuklidesowe oraz podjęte zostały próby aksjomatyzacji matematyki (tzw. program logicyzmu, zakończony fiaskiem, m.in. dzięki słynnym twierdzeniom Gödla). Wówczas ukształtowały się główne stanowiska i rozgorzała dyskusja, która zaowocowała tysiącami publikacji, debat i polemik. Warto dodać, że gorąca debata – na łamach magazynów czy książek popularnonaukowych przemieniająca się w regularną wojnę, w której personalne ataki nie są czymś nadzwyczajnym – nie dotyczy „jedynie filozofii”, bowiem opowiedzenie się za którąś ze stron rzutuje na sposób uprawiania matematyki. Np. konstruktywiści nie uznają dowodów nie wprost (dowód polegający na wykazaniu, że zaprzeczenie twierdzenia prowadzi do sprzeczności).

Filozofowie szybko zorientowali się, że w tych dyskusjach pobrzmiewa echo sięgającego początków filozofii sporu o sposób istnienia bytów (pojęć) ogólnych – tzw. uniwersaliów. Pojęcia ogólne to wszystkie nazwy, które nie są nazwami własnymi – człowiek, pies, krzesło, sprawiedliwość itd. (a nie Jan Kowalski, Reksio, żelazny tron z Westeros czy Kodeks Hammurabiego). W świecie fizycznym istnieją przedmioty jednostkowe – jak zatem istnieją przedmioty ogólne? Realizm (którego odpowiednikiem jest platonizm matematyczny) głosi, że pojęcia ogólne istnieją albo w jakiejś innej rzeczywistości i niezależnie od desygnatów (o czym mówi teoria idei Platona), albo jako formy w rzeczach jednostkowych (co głosił Arystoteles). Konceptualizm (w filozofii matematyki odpowiada mu konstruktywizm) zakłada, że pojęcia ogólne istnieją jedynie w umysłach. Nominalizm (bliski krewny formalizmu) uznaje istnienie wyłącznie przedmiotów jednostkowych, zgodnie z zasadą „brzytwy Ockhama” („nie należy mnożyć bytów ponad konieczność”), najsłynniejszego zwolennika tego poglądu.

Matematyczność przyrody

Skoro spór ciągnie się od tak dawna, zasadne jest pytanie, czy da się go w ogóle rozwiązać. To jednak cecha wszystkich wielkich problemów filozoficznych – można o nich długo dyskutować i dobierać się do nich z wielu stron, ale gdy wydaje się już, że któryś, choć nie został rozwiązany, to przynajmniej udało się go przepędzić, uparcie powraca, przebrany w nowe szaty. Nie znaczy to jednak, że nie warto się nad tym wszystkim zastanawiać – polecam spróbować odpowiedzieć samodzielnie na pytanie, czy matematykę się tworzy, czy odkrywa?

Na koniec zastanówmy się, czy można łatwo pozbyć się platonizmu, odwołując się do nauk kognitywnych. Bartosz Brożek i Mateusz Hohol w „Umyśle matematycznym” zastanawiają się, w jaki sposób ludzki umysł posługuje się obiektami matematycznymi, i wykazują, że poznanie matematyczne zakorzenione jest w prostych zdolnościach percepcyjnych (które dzielimy z naszymi małpimi krewniakami), w mechanizmie metaforyzacji (który pozwala na uchwycenie tego, co abstrakcyjne – jak wszystkie obiekty matematyczne – jako metafory tego, co konkretne i związane z naszym ciałem), oraz w języku. Nie ma mowy o tajemniczej intuicji czy bezpośrednim wglądzie w niezależny świat bytów matematycznych, o jakich mówią platonicy. Następnie autorzy „Umysłu matematycznego” podkreślają, że dysponujący tak samo skonstruowanym aparatem poznawczym matematycy tworzą społeczności, które rozwijają matematykę jako część kultury, korzystając ze sposobów transmisji kulturowych (co ucieszyłoby tzw. konstruktywistów społecznych). Wszystko to, by na końcu uznać, że ogłoszenie śmierci platonizmu byłoby jednak nadużyciem. Dlaczego?

W 1960 r. Eugene Wigner, amerykański fizyk i matematyk, pochodzący z żydowskiej rodziny mieszkającej na Węgrzech, późniejszy noblista (w dziedzinie fizyki, w 1963 r.), opublikował słynny esej zatytułowany „Niepojęta skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych”. Wigner zastanawiał się, dlaczego prawa fizyki mają postać równań matematycznych. Dla wielu z nas mogłoby się to wydawać trywialne, z punktu widzenia filozofii jest to jednak uderzający fakt, który domaga się wyjaśnienia. Dlaczego zadziwiające teorie matematyczne, rozwijane niezależnie od fizyki, doskonale pasują do opisywania zjawisk zachodzących we Wszechświecie? Wigner nie podał odpowiedzi – napisał za to, że „stosowność języka matematyki do formułowania praw fizyki jest cudownym darem, którego ani nie rozumiemy, ani nań nie zasługujemy”.

Z problemem Wignera można się mierzyć na dwa sposoby. Albo „winą” za ten fakt można obarczać nas – albo Wszechświat. Zgodnie z pierwszą opcją, być może udało nam się stworzyć taką matematykę, która pozwala na opisywanie zjawisk jedynie z zadowalającym nas przybliżeniem. Nie wiemy, czy faktyczne prawa przyrody mają charakter równań matematycznych, czy tylko udaje się nam niektóre z nich w taki sposób przedstawić i wykorzystywać do projektowania urządzeń i wynalazków.

Zwolennikami alternatywnej odpowiedzi są m.in. Michał Heller oraz Roger Penrose (zob. poniżej). Według pierwszego, matematyka nadaje się do opisu Wszechświata, bo Wszechświat sam w sobie jest matematyczny, to znaczy u jego głębokiego podłoża znajdują się struktury matematyczne, które fizycy starają się zidentyfikować. Nie byłoby to możliwe, gdyby nie praca matematyków – dzięki nim fizycy dysponują obiektami, które mozolnie dopasowują do odpowiednich praw przyrody. Nasza matematyka – czyli te teorie, które udało nam się do tej pory opracować – są ubogie, przynajmniej w porównaniu z całą Matematyką, która leży u podłoża Wszechświata (dlatego ta Matematyka zasługuje na wielką literę).

Platonizmu, konkludują w swojej książce Brożek i Hohol, naprawdę nie da się tak łatwo pozbyć. ©

HISTORIA POWSTANIA ZERA
Jak wyjaśnia w pasjonującej „Książce o Niczym” John Barrow (Copernicus Center Press 2015, przeł. Ł. Lamża), symbol zera został wprowadzony niezależnie przez trzy wielkie cywilizacje: Babilończyków, Hindusów i Majów. Co ciekawe, nie posługiwali się nim m.in. starożytni Grecy – którzy tak wspaniale rozwinęli geometrię i stworzyli podstawy logiki. Grecka filozofia nieufnie podchodziła do związanej z zerem kwestii nicości – być może dlatego zero musiało dotrzeć do kultury zachodniej za sprawą Arabów, którzy przejęli je z Indii.
Jako pierwsi wynaleźli je jednak Babilończycy, około IV w. p.n.e. Późno, zważywszy, że już 1500 lat wcześniej w Babilonii stosowano system pozycyjny, czyli taki, w którym pozycja danej cyfry określa wartość liczby. Wcześniej, np. w Egipcie, stosowano system dziesiętny (różne potęgi dziesiątki miały swoje symbole). W efekcie liczbę 253 egipscy skrybowie zapisywali jako dwa pojedyncze „zwinięte sznury” (symbol 100), pięć pojedynczych „kości piętowych” (symbol 10) i trzy pojedyncze kreski (symbol 1). Babilończycy zaczęli stosować zero w swoim systemie pozycyjnym, by ułatwić sobie zapis: wcześniej po prostu zostawiali puste miejsce, co oczywiście utrudniało odczytywanie liczb (501 wyglądało podobnie jak 51 i jak 50001). Wprowadzony wreszcie symbol zera w Babilonie pozbawiony był jednak filozoficznych konotacji nicości, nie był również stosowany do zapisu równań typu 60 – 60 = 0 albo 5 x 0 = 0. Wykorzystywany był wyłącznie w księgowości, jako separator, pusty wpis w pozycji reprezentacji liczby. Dopiero na początku naszej ery w Indiach pojawił się symbol zera (początkowo jako kropka, następnie w znanej nam postaci 0), który posiadał wszystkie aspekty zera używanego przez nas współcześnie.

TRZY ŚWIATY PENROSE’A
Roger Penrose zaproponował ontologię trzech światów. Pierwszy to świat fizyczny – czyli nasz Wszechświat. Z pewnej jego części wyłania się świat obiektów mentalnych – wszystkie nasze idee, przeżycia czy twory kultury. Z kolei część tego mentalnego świata obejmuje cały świat obiektów matematycznych. Natomiast część świata matematycznego wywołuje cały świat fizyczny. W jaki sposób każdy z nich wyłania się z poprzedniego i w jaki sposób „produkuje” następny świat, to trzy najważniejsze tajemnice, z jakimi umysł ludzki może się zmierzyć.