Reklama

Przez duże M

Przez duże M

08.03.2021
Czyta się kilka minut
Królowa nauk prowokuje do postawienia wielu pytań filozoficznych. W zmaganiach z nimi Michał Heller sformułował hipotezę matematyczności świata.
Ławica barakud, Malezja, listopad 2018 r. RICHARD CAREY / ADOBE STOCK
M

My, ludzie, potrafimy poruszać się po krainie abstrakcji, choć zbudowani jesteśmy z krwi i kości, a nasze mózgi wyewoluowały do radzenia sobie z praktycznymi trudami życia. Matematycy nie badają czegoś fizycznego – np. widocznych gołym okiem minerałów albo bakterii, których świat odsłoniły przed nami mikroskopy – jednak przedmiot dociekań matematyków zdaje się być czymś więcej niż wytworem fantazji. Wydaje się realny. Słynny angielski matematyk Godfrey Harold Hardy chełpił się tym, że jego odkrycia są czysto abstrakcyjne i nie mają ani nie będą miały najmniejszego praktycznego znaczenia. Jednak jak na złość znalazły one zastosowanie w fizyce, kryptografii oraz genetyce. Niektóre struktury matematyczne zdają się zatem „pasować” do świata, nawet wbrew intencjom matematyków, którzy jako pierwsi je opisali. Zadziwiony tym faktem matematyk i laureat Nagrody Nobla z fizyki Eugene Wigner stwierdził w słynnym eseju z 1960 r., że „cud odpowiedniości języka matematyki do wyrażania praw fizyki jest niezwykłym darem, którego nie rozumiemy i na który nie zasługujemy”.

Matematyczny świat

Michał Heller, który sam wykorzystuje język matematyki, by odczytać księgę przyrody, nie zadowala się Wignerowskim „cudem”. Chce zrozumieć to dopasowanie i je wyjaśnić. Jego zdaniem struktury matematyczne „pasują” do świata z konkretnego powodu – ponieważ świat jest matematyczny. Ta propozycja filozoficzna nazywana jest „hipotezą matematyczności świata”. Na pozór brzmi to nieco tautologicznie, ale to wrażenie znika, jeśli przyjrzymy się bliżej samej hipotezie. Heller przedstawia ją tak: „światu należy przypisać cechę, dzięki której szczególnie skutecznie można go badać za pomocą metody matematycznej. Świat posiada więc racjonalność szczególnego typu – typu matematycznego”.

Można jednak polemizować: świat nie musi być matematyczny, może być jedynie matematyzowalny, czyli podatny na opis za pomocą pewnych struktur matematycznych. Gdyby tak było, wciąż bylibyśmy w punkcie wyjścia. Zdaniem Hellera nie ma jednak matematyzowalności świata bez jego matematyczności. Dlaczego?


CZYTAJ WIĘCEJ 

85. JUBILEUSZ KS. PROF. MICHAŁA HELLERA: Zapraszamy do lektury licznych tekstów Jubilata oraz o Jubilacie zebranych w specjalnym serwisie >>>


Heller proponuje, byśmy wyobrazili sobie świat całkowicie niematematyczny, czyli taki, w którym nie obowiązują żadne zasady matematyki i logiki. Świat taki byłby wewnętrznie sprzeczny, podczas gdy dla wielu matematyków i filozofów minimalnym warunkiem istnienia czegoś jest niesprzeczność. Innymi słowy: świat całkowicie niematematyczny nie mógłby istnieć, a matematyczność świata jest czymś więcej niż wyjaśnieniem Wignerowskiego „cudu”. Jest warunkiem istnienia.

A co ze światem, który byłby matematyczny, ale leżąca u jego podstaw matematyka byłaby niezwykle skomplikowana albo wręcz chaotyczna? Wyobraźmy sobie choćby świat, w którym siła grawitacji w pewnym zakresie spada z kwadratem odległości, jak w naszym świecie, w innym zaczyna jednak rosnąć, w odległości zaś dokładnie miliona i pół kilometra dwa ciała masywne odpychają się; następnego dnia występują zaś zupełnie inne prawidłowości. Świata takiego nie można by „ścieśnić” w proste formuły, które określamy zwykle mianem praw przyrody (nie byłby to świat matematyzowalny – przynajmniej w praktyce). Niemożliwa byłaby zatem nauka – przynajmniej w tradycyjnym rozumieniu.

Zastanówmy się jeszcze, co by było, gdyby wyobrażony świat był już bardziej podobny do naszego, z tą tylko różnicą, że siła grawitacji pomiędzy dwiema masami działałaby odwrotnie proporcjonalnie do odległości pomiędzy ciałami podniesionymi do potęgi 1,999 (a nie, zgodnie z prawem Newtona, do potęgi drugiej). Różnica wydaje się minimalna, ale, jak zauważa Heller, jej konsekwencje byłyby poważne. W najlepszym razie ruchów planet nie można by opisać względnie prostymi formułami matematycznymi, ale możliwe również, że ruchów tych nie miałby kto opisywać, ponieważ Układ Słoneczny wyglądałby inaczej i na Ziemi mogłoby nie powstać życie. Wyobrażenie tych dwóch ostatnich możliwych światów poucza nas o tym, że matematyka „tworząca” nasz świat jest „niezłośliwa” (to określenie Hellera), tj. na tyle prosta, że poznać może ją ludzki umysł.

Budulec

Co jednak znaczy, że matematyka „tworzy” świat? Dobrze znana jest metafora Galileusza, zgodnie z którą przyroda to księga napisana językiem matematyki. Modyfikując (i uwspółcześniając) tę metaforę, Heller podkreśla, że matematyka jest językiem bardzo specyficznym – posiadającym moc sprawczą. „Jak wiadomo – mówił Heller w wywiadzie dla „Polityki” w 2004 r. – w komputerze znajdują się jakieś druty, półprzewodniki, płytki, czyli tzw. hardware. Podobnie obiekty, które można zobaczyć na niebie i zmierzyć, to hardware wszechświata – materia, z której wszystko jest zrobione. Ale cała ta maszyneria, komputerowa czy kosmiczna, nie miałaby sensu, gdyby nie było programu, software. Językiem Wszechświata jest matematyka, jego ­software jest pisany językiem matematyki”. Sprawcza rola matematyki polega zatem na sterowaniu światem.

Stanowisko filozoficzne Hellera nawiązuje do tzw. realizmu matematycznego, głoszącego, że matematyka istnieje nie tylko „w głowach” uczonych oraz podręcznikach, ale jest czymś niezależnym od tych swoich przejawów. Bądź to ­istniejącym w świecie (jak twierdził Arystoteles), bądź poza nim (ta koncepcja znana jest jako platonizm matematyczny). Heller wielokrotnie podkreślał, że działalność matematyka przypomina bardziej pracę podróżnika-odkrywcy niż inżyniera-wynalazcy. Matematyk niewątpliwie korzysta jednak z „fachowych narzędzi”, czyli z notacji formalnej. Historia nauki uczy nas, że wiele odkryć matematycznych następowało wtedy, gdy uczeni nauczyli się rozszerzać swoje zdolności poznawcze za pomocą nowego sposobu zapisu symbolicznego. Aby to rozjaśnić, Heller mówi o matematyce przez małe m i duże M. Pierwsza jest wytworem człowieka. Natomiast „Matematyka przez duże M istnieje poza czasem, jest wieczna i niezmienna. Nie jest ona wyrażona za pomocą żadnych zapisów i symboli. Po prostu jest. Wszystko, co byłoby z nią sprzeczne, nie może istnieć. Wszystko, co istnieje, podlega jej logice. Jest ona rzeczywistością najbliższą Platońskiemu światu »boskich idei«”.

Między Platonem a Kantem

Nawet jeśli zgodzimy się z Hellerem, że świat jest w istocie matematyczny, nie oznacza to, że cały Wignerowski „cud” jest już wyjaśniony. Nie wiadomo wciąż, w jaki sposób badacze poznają matematyczne oprogramowanie Wszechświata (Matematykę) przy pomocy wytworów ludzkiej kultury (matematyki). Do problemu można podejść stwierdzając, że matematykę abstrahujemy z otaczającego nas świata, który jest matematyczny. Jeśli tak, to matematyka i Matematyka korespondują ze sobą. O ile stanowiska takiego można by bronić w odniesieniu do matematyki elementarnej, mówiącej choćby o zliczaniu przedmiotów albo o ich kształtach, o tyle wyrafinowane struktury matematyki wyższej czy akademickiej, jak wiązki włókniste czy grupy symetrii, nie powstają poprzez uogólnianie obserwacji otaczającego nas świata. Hardy doszedł do swoich formuł na drodze czystej, swobodnej gry wyobraźni. Dopiero później zostały one „przyłożone” do przyrody.

Być może zatem nasz mózg posiada wrodzoną wiedzę matematyczną albo swego rodzaju dyspozycję do ­poznawania Matematyki? Niektórzy filozofowie, jak choćby Platon czy Kant, twierdzili, że człowiek wyposażony jest w intuicję matematyczną, która pozwala nam na przeprowadzanie wnioskowań matematycznych i dostrzeganie prawdziwości twierdzeń. Oczywiście między tymi myślicielami istniały spore różnice w poglądach. Kant twierdził z grubsza, że nasz umysł wyposażony jest we wrodzone kategorie czasu i przestrzeni, na których z kolei „nadbudowane” są arytmetyka i geometria, co sprawia, że postrzegamy świat jako matematyczny. Według Platona intuicja matematyczna to natomiast zdolność poznania intelektualnego, wiodąca umysł (będący czymś zupełnie innym od ciała, a nawet uwięzionym w nim) do osobnego i „prawdziwszego” świata – świata wiecznych idei.

Heller polemizuje z poglądem Kanta. Twierdzi, że kantyzm nie traktuje poważnie teorii ewolucji: jeśli matematyka jest wyposażeniem umysłu, to powinna mieć genezę ewolucyjną. Jeśli tak jest, to wciąż pozostaje pytanie o matematyczność ewolucji. Co więcej, o ile zgodnie z wynikami współczesnych badań można uznać, że istnieją pewne wrodzone intuicje dotyczące liczebności i geometrii (ludzkie niemowlęta i młode różnych gatunków kręgowców potrafią rozróżniać zbiory przedmiotów o różnej liczności oraz wykorzystać geometrię środowiska do orientacji przestrzennej), o tyle stwierdzenie, że przychodzimy na świat z umiejętnością uprawiania wyższej matematyki (albo nawet szkolnej arytmetyki) „w wyposażeniu podstawowym”, byłoby psychologicznym nonsensem.

Może więc rację miał Platon? Platonizm jest zbiorem poglądów metafizycznych („co istnieje?”) oraz epistemologicznych („jak to poznajemy?”). Być może wyposażeni jesteśmy w specjalną – niezależną od innych sposobów myślenia – zdolność poznawczą, umożliwiającą nam poznawanie istniejącej poza nami Matematyki? Choć, jak pamiętamy, Heller sympatyzuje z platonizmem, trudno nazwać go platonikiem w warstwie epistemologicznej. Jest on zbyt wytrawnym filozofem, by chodzić na skróty, powołując do istnienia tajemniczą „intuicję matematyczną”, lub ignorować osiągnięcia nauk o poznaniu w wyjaśnianiu podstaw myślenia. Nauki te podważają zaś istnienie specyficznej dla poznawania matematyki władzy umysłu, w którą wierzą najbardziej radykalni platonicy.

Akt wiary

Heller patrzy więc z zaciekawieniem na kognitywne wyjaśnienia podstaw matematyki i podkreśla, że koncepcje filozoficzne powinny być przynajmniej niesprzeczne z odkryciami naukowymi. Ale trudno też nie zauważyć, że nadal brakuje wiarygodnego neurobiologicznie wyjaśnienia „rezonansu” między matematyką i Matematyką. Warto dodać, że Heller zarazem wielokrotnie wytykał przedstawicielom kognitywistyki przekraczanie granic własnej dyscypliny. Większość badaczy tego nurtu reprezentuje postawę antyplatońską, głosząc, że matematyka to ostatecznie wytwór mózgu i kultury, a co za tym idzie, bez mózgu i kultury nie byłoby żadnej matematyki.

W tej filozoficznej deklaracji kognitywistów nie ma oczywiście niczego złego. Koniec końców uznanie, że Matematyka jest istniejącym poza umysłem programem Wszechświata, to w najlepszym przypadku wspierany racjonalnymi argumentami akt wiary, a nie coś, co można przetestować empirycznie. Heller stanowczo twierdzi natomiast, że podpieranie antyplatońskiego stanowiska metafizycznego badaniami nad elementarnymi formami myślenia matematycznego to droga na skróty. Mówiąc bardziej precyzyjnie, o ile badania prowadzone przez kognitywistów można zastosować do krytyki platonizmu w warstwie epistemologicznej (a więc podważać można istnienie czegoś takiego jak specjalna intuicja matematyczna), o tyle stwierdzenie, że badania te „dowodzą” poprawności metafizyki antyplatońskiej, jest nadużyciem. Odkrycia naukowe pogodzić można bowiem z różnymi stanowiskami metafizycznymi. Twierdzi Heller przy tym, że same teorie naukowe nie tylko nie wyjaśniają stosowalności matematyki, ale również zakładają uprzednią matematyczność świata: „[E]wolucja wyposażyła nasz mózg w pewne umiejętności matematyczne, ale odkrywając strukturę naszego mózgu i sposoby jego funkcjonowania, możemy jedynie zrozumieć, jak w naszym mózgu powstają pojęcia matematyczne, ale nie jesteśmy w stanie wyjaśnić probabilistycznych strategii ewolucji (ponieważ mózg jest produktem ewolucji, a nie odwrotnie) i nie jesteśmy w stanie odpowiedzieć na pytanie, dlaczego prawa przyrody (...) są matematyczne”.

Filozofia przez duże „F”

Hipoteza matematyczności świata była wielokrotnie przedmiotem burzliwych dyskusji. Filozofowie humanistyczni zadawali przewrotne pytanie o to, czy skoro świat jest matematyczny, to czy matematyczne są także zło i miłość – i jakie miałyby być tego konsekwencje metafizyczne i etyczne. Filozofowie nauki wskazywali, że sukcesy zastosowania matematyki w naukach empirycznych można wyjaśnić bez przyjmowania hipotez metafizycznych, czymś na kształt darwinowskiej selekcji teorii – uczonym udaje się znaleźć odpowiednie dla danego aspektu rzeczywistości fizycznej narzędzie matematyczne po wielu próbach, po odrzuceniu wielu nietrafionych narzędzi.

Wspomnieć można jeszcze, że hipotezę matematyczności świata można zaakceptować jedynie tymczasowo, jako rezultat wnioskowania do najlepszego w danym momencie wyjaśnienia (być może kiedyś ktoś wpadnie na lepszy pomysł wyjaśnienia „dopasowania” matematyki i świata). Od siebie dodam również, że metafora matematyki jako programu (software) dla materialnego wszechświata (­hardware) ma poważne ograniczenia, ponieważ komputer wcale nie musi być wyposażony w jakikolwiek software, by można było nazwać go pełnoprawnym komputerem.

Paradoksalnie, w podatności na zarzuty tkwi siła stanowiska Hellera. Według filozofa Karla Poppera o naukowości jakiejś teorii świadczy możliwość obalenia jej na drodze testów empirycznych (to tzw. kryterium falsyfikowalności, które naukowcy powszechnie uznają za trafne). Zdaniem Hellera zaś, analogicznie, kryterium, jakie powinna spełniać dobra filozofia, jest dyskutowalność. Docenia on szczególnie nie te koncepcje filozoficzne, które tworzą niepodważalny system, ale takie, które podatne są na kontrargumenty. W tym sensie hipoteza matematyczności świata jest właśnie filozoficzną hipotezą: czymś, co domaga się krytycznej dyskusji i czerpie z niej owoce. ©

Ten materiał jest bezpłatny, bo Fundacja Tygodnika Powszechnego troszczy się o promowanie czytelnictwa i niezależnych mediów. Wspierając ją, pomagasz zapewnić "Tygodnikowi" suwerenność, warunek rzetelnego i niezależnego dziennikarstwa. Przekaż swój datek:

Autor artykułu

Doktor, adiunkt w Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na Uniwersytecie Jagiellońskim, badacz poznania matematycznego, czyli tego jak ludzki umysł radzi sobie z liczbami i geometrią...

Dodaj komentarz

Usługodawca nie ponosi odpowiedzialności za treści zamieszczane przez Użytkowników w ramach komentarzy do Materiałów udostępnianych przez Usługodawcę.

Zapoznaj się z Regułami forum

Jeśli widzisz komentarz naruszający prawo lub dobre obyczaje, zgłoś go klikając w link "Zgłoś naruszenie" pod komentarzem.

Zaloguj się albo zarejestruj aby dodać komentarz

© Wszelkie prawa w tym prawa autorów i wydawcy zastrzeżone. Jakiekolwiek dalsze rozpowszechnianie artykułów i innych części czasopisma bez zgody wydawcy zabronione [nota wydawnicza]. Jeśli na końcu artykułu znajduje się znak ℗, wówczas istnieje możliwość przedruku po zakupieniu licencji od Wydawcy [kontakt z Wydawcą]