Rachunki rozsądku

Przypuśćmy, że szefowa dłużej niż zwykle zwleka z odpowiedzią na twoje maile. Wiele osób uznałoby to za oznakę, że ich gwiazda gaśnie. Bo jeżeli czyjaś gwiazda rzeczywiście gaśnie, to spore są szanse, że szefowa z lekceważącym opóźnieniem reagować będzie na maile od takiej osoby. Ale być może twoja szefowa odpisuje wolniej, bo jest ostatnio szczególnie czymś zajęta albo ma jakieś osobiste problemy? Rachunek prawdopodobieństwa zna twierdzenie, które pozwala na to, by nie panikować.

NIEPEWNOŚĆ

O otaczającym nas świecie wiemy coraz więcej: lepiej poznajemy przyrodę, konstruujemy coraz doskonalsze urządzenia, a mimo to wciąż zaskakuje nas mnogość losowych, nieprzewidywalnych zdarzeń. Niepewność jest na trwałe wpisana w naturę świata i trudno od niej uciec. Kiedyś jej głównym źródłem była przyroda, obecnie dostrzegamy ją także – i bronimy się przed jej skutkami – w konstruowanych urządzeniach technicznych, w zjawiskach społecznych, w działaniach rynków finansowych.

Dla poznania i ujarzmienia losowości ważne jest nie tylko gromadzenie odpowiednich danych i informacji o otaczającej nas rzeczywistości, ale także właściwe ich przetwarzanie.

23 grudnia minie 250 lat od dnia, w którym światło dzienne ujrzało przełomowe w dziejach rozwoju rachunku prawdopodobieństwa twierdzenie. Sformułowane zostało przez prezbiteriańskiego duchownego Thomasa Bayesa (1701–1761), a nazywane jest potocznie twierdzeniem o prawdopodobieństwie przyczyny. Sam twórca nie żył już wówczas od dwóch lat, a jego wywód przedstawił brytyjskiemu Królewskiemu Towarzystwu Naukowemu inny duchowny i matematyk – Richard Price. Twierdzenie to wywarło ogromny wpływ nie tylko na rozwój teorii prawdopodobieństwa, lecz także stało się użytecznym narzędziem w podejmowaniu decyzji w warunkach niepewności. Było i nadal pozostaje skutecznym sposobem uniknięcia przez nas błędów poznawczych w sytuacji, gdy podjąć trzeba decyzję albo wyrazić swój pogląd na temat, o którym posiadamy informacje szczątkowe i niepewne.

WARUNEK

Gdy w sytuacjach niepewności, które w życiu prywatnym i zawodowym towarzyszą nam na co dzień, zadajemy sobie pytanie, w jaki sposób powinna zmienić się moja opinia lub moje postępowanie pod wpływem nowej informacji, to racjonalną odpowiedź znajdujemy właśnie w twierdzeniu Bayesa. Większość z nas raczej nie ignoruje nowych przesłanek lub nowych okoliczności, mogących zmniejszyć niepewność, a co za tym idzie – zredukować ryzyko przyszłego działania. Wyzwaniem może być natomiast to, w jaki sposób modyfikować swoją dotychczasową wiedzę, gdy stajemy się posiadaczami nowej informacji.

Na przykład: czy odpowiedź na pytanie o prawdopodobieństwo tego, że w losowo wybranej rodzinie z dwojgiem dzieci, oboje dzieci to dziewczynki, ulegnie zmianie, jeżeli dowiemy się, że jedno z dzieci jest dziewczynką? Jak taka informacja zmieni poszukiwane prawdopodobieństwo? Odpowiedź nie jest trudna. W sytuacji, gdy informacji tej nie posiadam, rozważam cztery jednakowo prawdopodobne sytuacje kolejności urodzeń: chłopiec-chłopiec, chłopiec-dziewczynka, dziewczynka-chłopiec, dziewczynka-dziewczynka. Prawdopodobieństwo, że rodzina ma dwie dziewczynki, równe jest więc 1/4. Z kolei, gdy znam płeć jednego dziecka, zmniejszającą moją niepewność, to zmniejszeniu ulega też przestrzeń zdarzeń, zredukowana obecnie do trzech sytuacji: chłopiec-dziewczynka, dziewczynka-chłopiec, dziewczynka-dziewczynka. W tych okolicznościach interesujące nas prawdopodobieństwo wynosi 1/3.

Ten prosty przykład pokazuje na razie wyłącznie ramy twierdzenia Bayesa, które zawierają się w określeniu „prawdopodobieństwo warunkowe”. Zmiana wartości prawdopodobieństwa z 1/4 na 1/3 spowodowana jest tym, że w drugim przypadku posłużyliśmy się prawdopodobieństwem warunkowym. To właśnie w tym warunku zawarta jest nowa informacja – o płci jednego dziecka.

W naszym codziennym życiu probabilistyczne myślenie dotyczy najczęściej właśnie szacowania prawdopodobieństwa warunkowego. Czyli prawdopodobieństwa pewnego zdarzenia pod warunkiem posiadania określonej wiedzy związanej z tym zdarzeniem lub jego okolicznościami.

INFORMACJA

Psycholog Daniel Kahneman, noblista w dziedzinie ekonomii, znaczenie wiedzy wstępnej (a priori) w procesie oceny przez nas niepewności ilustruje następującym przykładem. Pewna osoba została przez sąsiada opisana jako mężczyzna bardzo nieśmiały i wycofany, zawsze chętny do pomocy, małomówny, mający potrzebę porządku, dbający o szczegóły. Co jest bardziej prawdopodobne – czy to, że mężczyzna ów jest bibliotekarzem, czy to, że jest rolnikiem? Osobowość opisanego mężczyzny pasuje do stereotypu bibliotekarza, stąd wiele osób uzna, że nasz mężczyzna wykonuje właśnie ten zawód. Tyle że w USA na każdego bibliotekarza przypada ponad dwudziestu rolników (w Polsce pewnie jeszcze więcej). Zatem prawdopodobieństwo, że osoba ta jest bibliotekarzem, jest znacznie mniejsze niż prawdopodobieństwo, że jest ona rolnikiem.

W odpowiedzi tych, którzy mężczyznę z opisu uznali za bibliotekarza, wyraża się trudność lub nieumiejętność połączenia dwóch źródeł informacji: wstępnej (a priori) o strukturze zawodowej całej zbiorowości mężczyzn – oraz informacji wynikających z opisu osobowości danego mężczyzny. Dość często, jak stwierdza Kahneman, kiedy wiemy coś o konkretnym przypadku, statystyczne informacje wstępne zostają niedoszacowane, a nawet całkowicie lekceważone.

Istotą twierdzenia Bayesa jest wskazanie, jak błędu tego uniknąć, czyli w jaki sposób racjonalnie łączyć ze sobą dwa źródła informacji: wstępnej i z konkretnego doświadczenia, obserwacji, próby. Każda kolejna obserwacja, kolejne doświadczenie, wzbogaca dotychczasową wiedzę wstępną, i następnego dnia znów stajemy przed wyzwaniem zweryfikowania tej wiedzy na podstawie nowej informacji.

SPISEK

Twierdzenie Bayesa nazywane jest twierdzeniem o prawdopodobieństwie przyczyny, gdyż odnosi się do sytuacji, w której pewne zdarzenie już nastąpiło, a ocenić trzeba prawdopodobieństwo tego, że jakieś inne zdarzenie było jego przyczyną. Ważne jest tu, co jest przyczyną, a co skutkiem. Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B jest na ogół inne aniżeli prawdopodobieństwo zdarzenia B pod warunkiem A. Utożsamianie ze sobą tych dwu prawdopodobieństw jest – zdaniem Leonarda Mlodinowa, autora książki „Matematyka niepewności” – dość powszechnym błędem.

Wróćmy teraz do przykładu z szefową, który przytacza właśnie ten autor: otóż prawdopodobieństwo, że twoja gwiazda gaśnie, jeśli szefowa dłużej niż zwykle zwleka z odpowiedzią na twoje maile, jest znacznie mniejsze niż szanse, że szefowa zwlekać będzie z odpowiedziami na maile, jeśli twoja gwiazda zacznie gasnąć. Mlodinow dodaje: „Uznanie, jakim cieszą się liczne teorie spiskowe, opiera się na niezrozumieniu tej różnicy, to znaczy na myleniu prawdopodobieństwa, że seria jakichś wydarzeń miałaby miejsce, gdyby krył się za nią potężny spisek, z prawdopodobieństwem, iż potężny spisek rzeczywiście istnieje, jeżeli wiadomo, że zaszła pewna seria wydarzeń”.

Ogłoszone 250 lat temu twierdzenie Thomasa Bayesa jest propozycją racjonalnego przetwarzania informacji w obliczu nowych faktów i nowych obserwacji czynionych każdego dnia. Gdybyśmy z tej propozycji częściej korzystali, moglibyśmy, przetwarzając informacje o sytuacjach losowych, uniknąć wielu błędów.  


Korzystałem z książek: L. Mlodinow „Matematyka niepewności. Jak przypadki wpływają na nasz los” (Prószyński i S-ka 2011) oraz D. Kahneman, „Pułapki myślenia. O myśleniu szybkim i wolnym” (Media Rodzina 2012).


Prof. dr hab. MIROSŁAW SZREDER jest ekonomistą, specjalizuje się w rozwoju i nowych zastosowaniach nauk ilościowych, w szczególności statystyki. Prorektor Uniwersytetu Gdańskiego, członek Komitetu Statystyki i Ekonometrii PAN.