Matematyka nie lęka się losu

Kiedy doświadczamy najzupełniej przypadkowych zdarzeń, często próbujemy doszukać się w nich sensu. Nie chcemy się pogodzić z tym, że może za nimi nie stać żadna przyczyna. „Procesy losowe tworzą wiele sekwencji, które przekonują ludzi, że tak naprawdę proces nie mógł być losowy” – pisze w książce „Pułapki myślenia. O myśleniu szybkim i wolnym” noblista Daniel Kahneman. I dodaje: „Za często – o wiele za często – jesteśmy skłonni odrzucać pogląd, że w życiu wiele rzeczy jest kwestią czystego przypadku”.

Wyrok losu

Oceniając, co jest lub co nie jest losowe, ulegamy w dodatku charakterystycznym złudzeniom. Niekiedy na tyle silnym, że np. reaguje na nie rynek. Leonard Mlodinow w książce „Matematyka niepewności. Jak przypadki wpływają na nasz los” pisze o nieoczekiwanej decyzji firmy Apple względem mechanizmu losowego wyboru piosenek w jednym z modeli iPoda. Prawdziwa losowość w wyborze piosenek może – jak wiadomo – prowadzić do powtórzeń. Ale część użytkowników, słuchając parokrotnie tej samej piosenki, nabrało przekonania, że ich dobór wcale nie był losowy. Steve Jobs stwierdził ostatecznie, że trzeba zmienić mechanizm na „mniej losowy po to, żeby wydawał się bardziej losowy”.

Podobnemu złudzeniu ulegamy także w dłuższych sekwencjach niezależnych zdarzeń losowych, uznając np. za mniej prawdopodobne wylosowanie w Lotto sześciu następujących po sobie kolejnych liczb aniżeli szóstki liczb z kilku różnych dziesiątek.

Kluczem, choć pewnie nie jedynym, do zrozumienia powodów tego złudzenia może być niekonsekwencja w interpretowaniu pojęcia niezależności zdarzeń. Z jednej strony zdarza się nam wierzyć, że w sekwencji zdarzeń od siebie niezależnych istnieją zależności. A z drugiej gotowi jesteśmy przyjąć, że pewne zdarzenia są niezależne, mimo że łączyć je może wspólna przyczyna.

Pierwszy to przypadek hazardzisty w kasynie, który wierzy, że po kilkakrotnym wskazaniu jednego z kolorów szanse na ukazanie się innego w kolejnej rundzie rosną. Widzi zależność tam, gdzie jej nie ma. Zaś jednym z najbardziej tragicznych skutków drugiego z przypadków była obszernie opisywana przed dziesięciu laty sprawa Sally Clark z Wielkiej Brytanii, oskarżonej o zamordowanie dwójki swoich niemowląt, zmarłych w pierwszych tygodniach po urodzeniu na skutek tzw. zespołu „śmierci łóżeczkowej” (ang. SIDS – Sudden Infant Death Syndrome). Sędziowie nie dostrzegli błędu w rozumowaniu biegłego – słynnego pediatry Sir Roya Meadowa. Ów stwierdził, że śmierć niemowlęcia na skutek SIDS zdarza się bardzo rzadko, bo raz na ok. 8,5 tys. narodzin. Prawdopodobieństwo, że dwa takie przypadki wystąpią w jednej rodzinie, traktowane jako prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń niezależnych – które przy tym założeniu równe jest iloczynowi prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń – wynosi (1/8500)2, co daje jeden taki przypadek na 73 miliony. Stąd twierdzenie Roya Meadowa, nazywane powszechnie „prawem Meadowa”, iż „jedna nagła śmierć niemowlęcia to tragedia, dwie takie śmierci są podejrzane, a trzy to morderstwo, chyba że dowiedziono innych przyczyn”. Królewskie Towarzystwo Statystyczne wyjaśniło poważny błąd w rozumowaniu biegłego. Brak było podstaw do założenia, że dwa zdarzenia „śmierci łóżeczkowej” w danej rodzinie można traktować jako zdarzenia niezależne. Nieuzasadnione jest więc mnożenie przez siebie prawdopodobieństw 1/8500. Mógł je bowiem łączyć jakiś czynnik, np. genetyczna skaza u któregoś z rodziców, i wówczas prawdopodobieństwo kolejnego zgonu niemowlęcia w rodzinie nie malałoby, lecz rosło! Rząd brytyjski ogłosił w 2004 r. decyzję o weryfikacji 258 podobnych przypadków. Niesłusznie skazana Sally Clark, zwolniona z więzienia po 3,5 roku, zmarła w wieku zaledwie 42 lat.

Pożytki z losowania

Losowość może więc budzić lęk nie tylko z powodu braku naszej kontroli nad zdarzeniami, które generuje, ale także z powodu trudności ze zrozumieniem procesu losowego i niezależności zdarzeń. Dążymy do takiego funkcjonowania, gdzie rola przypadku jest niewielka. Paradoksalnie jednak w niektórych innych dziedzinach życia do losu chętnie się odwołujemy.

Sztuczny mechanizm losowania tworzymy, aby się nim posłużyć, gdy trudno o rozstrzygnięcie pewnych kwestii albo gdy zmierzamy do uzyskania reprezentatywnej – jak chcielibyśmy wierzyć – próby całej zbiorowości.

O ile prawie każdy słyszał o losowaniu przez drużyny połowy boiska, na której rozpoczną mecz, to rzadziej mechanizm ten znajduje zastosowanie w poważniejszych sprawach. A jednak! W listopadzie 2012 r. losowanie zdecydowało o wyborze kolejnego przywódcy (papieża) Koptyjskiego Kościoła Ortodoksyjnego. Opisywał to w „TP” 48/2012 Maciej Tumulec: „Spośród 17 duchownych Święty Synod (tj. koptyjskie zgromadzenie wiernych) wybrał pięciu kandydatów. Dalszy proces selekcji polegał na przesłuchaniach kandydatów, którzy przedstawiali Synodowi swe plany w razie wyboru na papieża. W efekcie 4 listopada w szklanej misie znalazły się kule z nazwiskami trzech duchownych (...). Sześcioletni chłopiec z zawiązanymi oczami wylosował kartkę, na której zapisano imię 118. papieża”.

Najczęściej o losowych próbach słyszymy – i w tygodniach poprzedzających eurowybory znów będziemy słyszeli – w kontekście sondaży opinii publicznej. Tu losowy wybór respondentów jest synonimem dobrej próby badawczej i zaufania do uzyskanych na jej podstawie wyników. Mało kto pewnie zgodziłby się na zastąpienie losowania innym mechanizmem typowania jednostek do próby. Czy słusznie?

Tak przywykliśmy do losowania, że nawet się nie zastanawiamy, czy coraz bogatsze informacje o wielu zbiorowościach – np. wyborców – nie powinny tego nastawienia zmienić. Bo czy na pewno, gdy zbiorowość jest nam dobrze znana, chcielibyśmy wybierać z niej reprezentatywną próbę przez mechanizm losujący? Czy też dążymy do wykorzystania wiedzy o populacji, aby w ten mechanizm ingerować? Ostatnio nie zdarzyło się, by miasto do przeprowadzenia prawyborów zostało wylosowane. Bo oznaczałoby to zignorowanie całej dostępnej wiedzy o tym, jak w poszczególnych miastach głosują wyborcy, szczególnie jak głosowali w wyborach w ostatnich kilku latach. W przypadku wszystkich prawyborów miasto było starannie typowane po przeanalizowaniu, gdzie struktura głosów na poszczególne ugrupowania była najbardziej zbliżona do struktury wszystkich głosujących w Polsce. Wskazywano Bochnię, Wrześnię, Nysę.

Ilustruje to też ogólniejszą prawidłowość. Otóż gdy badacz sięga po losowy wybór próby, w pewnym sensie przyznaje się do braku wartościowych informacji o analizowanej zbiorowości. Im więcej takich informacji posiada, tym silniej ingeruje w mechanizm losujący.

Przypadek poprawiony

Co więc powoduje, że wciąż większość sondaży wykorzystuje losowo wybranych do próby respondentów? Po pierwsze, w większości badań mechanizmy losowania są już znacznie zmodyfikowane w stosunku do naszego wyobrażenia o indywidualnym losowaniu osób z całego kraju, każdej z jednakowym prawdopodobieństwem wyboru. Po drugie, gdy posługujemy się losowaniem, teorie statystyki i probabilistyki dają nam wygodny model matematyczny, dzięki któremu potrafimy uzasadnić, iż błąd losowy (statystyczny) w typowym sondażu nie przekracza 3 proc. I mimo że te 3 proc. nie odnosi się do całkowitego błędu badania, który ma prawo być większy, to jest to liczba poprawnie wyrażająca maksymalne dla wyników sondażu skutki niedoskonałości mechanizmu losującego. Gdyby w wyborze próby zabrakło tego mechanizmu, to i owe 3 proc. straciłoby rację bytu. Inną zupełnie kwestią jest, że odmowy respondentów, nieufność do ankieterów albo słaba jakość ich pracy mogą całkowity błąd badania znacznie zwiększyć.

Ostatecznie więc okazuje się, że samo losowanie wszystkiego nie rozstrzyga.


Prof. dr hab. MIROSŁAW SZREDER jest ekonomistą, specjalizuje się w rozwoju i nowych zastosowaniach nauk ilościowych, szczególnie statystyki. Prorektor Uniwersytetu Gdańskiego, członek Komitetu Statystyki i Ekonometrii PAN.


Paradoks urodzin

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo zebranej grupie 40 osób znajdą się przynajmniej dwie osoby, które mają urodziny tego samego dnia? Najczęściej pada odpowiedź: małe. Możliwych dni urodzin jest 365, to dlaczego wśród 40 osób dzień urodzin miałby się powtórzyć?
Tymczasem prawdopodobieństwo wynosi aż 90%.
Już w grupie 23 osób prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie mają urodziny tego samego dnia, jest większe niż 50%. Gdy wyjeżdżamy na wycieczkę z biurem podróży w towarzystwie nieznanych nam 70 osób, prawdopodobieństwo, że są w niej przynajmniej dwie osoby urodzone tego samego dnia (niekoniecznie roku) równe jest 99,9%.


Niedocenianie bazy

W teście medycznym na wykrycie pewnej choroby, która występuje tylko raz na tysiąc osób, błędny wynik pozytywny pojawia się w 5% przypadków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba, u której test dał wynik pozytywny, jest rzeczywiście chora? Najczęściej udzielana odpowiedź brzmi 95%.
Tymczasem (przy założeniu, że gdy badany pacjent faktycznie jest chory, to test zawsze daje wynik pozytywny) prawidłowa odpowiedź na zadane pytanie brzmi... 2%.
Błąd w odpowiedziach spowodowany jest tzw. niedocenianiem bazy, czyli niezrozumieniem, jaka jest w tym wszystkim rola częstości występowania badanej choroby.