Wykupienie dostępu pozwoli Ci czytać artykuły wysokiej jakości i wspierać niezależne dziennikarstwo w wymagających dla wydawców czasach. Rośnij z nami! Pełna oferta →
Paradoksy zawsze w nauce były. Wystarczy wspomnieć starożytne paradoksy Zenona: strzały, Achillesa i żółwia, stadionu. Oprócz znaczenia filozoficznego (niemożność ruchu i w ogóle zmiany) miały znaczenie fizyczne i matematyczne. Zostały rozwiązane dopiero w XVII wieku, dzięki rozwojowi matematyki, zrozumieniu pojęć granicy funkcji, szeregów nieskończonych, tego, że suma nieskończenie wielu elementów może być skończona.
Dłużej na rozwiązanie czekał starożytny paradoks kłamcy. Piszemy na tablicy zdanie: "To zdanie jest fałszywe" i chcemy mu przypisać wartość logiczną "prawda" lub "fałsz". Jeśli zdanie jest prawdziwe, to ponieważ orzeka inaczej, jest fałszywe. A jeśli jest fałszywe, to orzeka zgodnie z prawdą, zatem jest prawdziwe. W ludowej wersji ten paradoks jest równoważny pytaniu: "Skoro Bóg jest wszechmocny, to czy może stworzyć kamień, którego nie da rady podnieść?". Rozwiązanie takich paradoksów poznaliśmy na przełomie XIX i XX wieku. Program formalizacji, w szczególności aksjomatyzacji matematyki doprowadził do rozróżnienia pomiędzy "językiem" a "metajęzykiem" ("językiem o języku"), pomiędzy tezami twierdzeń matematycznych a stwierdzeniami o ich prawdziwości. Zdanie używane w paradoksie kłamcy okazuje się nie być zdaniem poprawnie zbudowanym (w sensie logicznym), ponieważ miesza porządek języka i metajęzyka. Nie można mu więc przypisywać wartości logicznej.
Zapoczątkowany przez Davida Hilberta (1861-1943) program porządkowania matematyki i jej aksjomatyzacji na podobieństwo geometrii Euklidesa doprowadził do zaskakujących rezultatów. W tym samym czasie prace Georga Cantora (1845-1918) wprowadziły do matematyki pojęcie nieskończoności, a co więcej - ujawniły, że nieskończoność, a właściwie nieskończoności mają zdumiewające paradoksalne właściwości. Okazało się, że istnieje (nieskończenie) wiele nieskończoności, że niektóre z nich są "równe", a inne "mniejsze" albo "większe". (Używam tutaj cudzysłowów, jako że na potrzeby popularnego tekstu rezygnujemy z matematycznej ścisłości). Bertrand Russell (1872-1970) zwrócił uwagę na paradoks związany ze "zbiorem wszystkich zbiorów". Jedno z jego popularnych sformułowań brzmi: "W pewnym miasteczku fryzjer goli wszystkich mieszkańców, którzy sami się nie golą, i tylko ich. Czy fryzjer goli się sam?".
Początek XX wieku to epoka formułowania paradoksów nie tylko logicznych i matematycznych, ale i fizycznych. Wnioski wynikające z teorii względności, mechaniki kwantowej czy kosmologii, oderwane od doświadczenia i intuicji wynoszonych z życia codziennego, wydawały się paradoksalne. Dość przytoczyć paradoks bliźniąt (związany z zależnością biegu czasu od prędkości obserwatora), paradoks kota Schrödingera (związany z determinizmem w mechanice kwantowej i jej interpretacją) czy odkrycie rozszerzania się nieskończonego Wszechświata (jeśli jest wszystkim i jest nieskończony, to "w co" się rozszerza?). Wszystkie te "paradoksy" są dziś dobrze zrozumiane, choć pojawiają się ich nowe i "jeszcze bardziej paradoksalne" wersje (np. dla paradoksu bliźniąt; przygotowany naukowo czytelnik może zajrzeć do pracy, której jestem współautorem wraz z Markiem Abramowiczem, http://arxiv.org/abs/0905.2428, zatytułowanej "Adding to the paradox: the accelerated twin is older").
W 1924 roku Stefan Banach (1892-1945) i Alfred Tarski (1901-1983) udowodnili jedno z najbardziej niezwykłych twierdzeń współczesnej matematyki. Pokazali, że kula może zostać podzielona na skończoną liczbę części w taki sposób, że posługując się tylko ich przesuwaniem i obrotami, można utworzyć dwie kule, z których każda będzie miała objętość kuli wyjściowej. Wynika z tego, że dowolny obiekt można podzielić na skończoną liczbę części i złożyć z nich dowolny inny obiekt. Ziarenko grochu można tak podzielić, że po złożeniu utworzymy kulę wielkości Słońca!
Leonard Wapner napisał piękną książkę "The Pea and the Sun" właśnie o tym "paradoksie", jak nazywają go jedni, czy twierdzeniu, jak wolą mówić inni. Równie zdumiewające jak sam paradoks Banacha-Tarskiego jest dokonanie autora, który pokazuje, że dowód (czy raczej szkic dowodu) nie jest niewyobrażalnie trudny. Wszystko, co czytelnikowi jest potrzebne do zrozumienia, to szkolne podstawy algebry i teorii zbiorów. Książka powinna być zrozumiała nawet dla przyjaźnie do matematyki nastawionych licealistów!
Wapner rozwija dowód z elegancką prostotą, zadając sobie trud, by wszystko umieścić w historycznym kontekście i dokonać szeregu istotnych i ciekawych dygresji. Prezentuje krótkie biogramy Georga Cantora, Stefana Banacha, Alfreda Tarskiego, Kurta Gödela (1906-1978) i Paula Cohena (1934-2007). Przedstawia też wiele innych paradoksów i snuje rozważania nad wnioskami wypływającymi z twierdzenia Banacha-Tarskiego na temat "realności matematycznej".
Czy Banach z Tarskim odkryli to, czego poszukiwali alchemicy? Jak to jest, że (paradoksalnie) wydaje się możliwe "mnożenie bytów" czy tworzenie czegoś z niczego? Jak miał powiedzieć Mark Twain: "Prawda jest bardziej zdumiewająca od fikcji, ponieważ fikcja musi się liczyć z tym, co możliwe, a prawda nie". Kulę można podzielić tak, by zrobić z niej dwie. I taka jest (matematyczna) prawda.
Jak to wszystko możliwe? Odsyłam do świetnej książki Wapnera. Tutaj tylko powiem, że cudów nie ma i w realnym świecie niczego (poza pieniędzmi i obietnicami polityków) nie da się kreować z niczego. Sekret dokonanego przez Banacha i Tarskiego podziału kuli polega na dzieleniu na skończoną liczbę, ale niemierzalnych części. Takich, dla których nie można określić objętości. Skoro nie można określić ich objętości, to nie powinno nas dziwić, że objętość nie jest zachowana. W realnym świecie takich niemierzalnych kawałków nie da się wykroić.
Tu dochodzimy do problemu matematycznej realności. Matematyka zdumiewająco dobrze nadaje się do opisu realnego świata. Zresztą powstała z życiowych potrzeb liczenia, mierzenia, dzielenia, porównywania, dopasowania kształtu itd. Czy zatem matematycy "wynajdują", czy odkrywają obiekty i twierdzenia? Takie pytanie nie odnosi się zresztą tylko do matematyki. Czy artysta (malarz, kompozytor, fotografik) odkrywa przed nami to, co tworzy, czy wymyśla? Czy bez jego pracy te rzeczy istniałyby, czy nie? Nie bez powodu na słynnym obrazie, na którym René Magritte namalował "fajkę", namalował też napis "Ceci n’est pas une pipe". Czy sam świat jest "realny"?
Wracamy do starego pytania: "Czy jeśli w lesie wali się drzewo, ale nie ma nikogo, kto usłyszałby huk, to zdarzenie miało miejsce czy nie?". Inaczej na takie pytania odpowie platonizm, inaczej formalizm, inaczej konstruktywizm. Fizyk jednak zapyta: czy między tym, że na skończonym odcinku istnieje "tyle samo" punktów, co na całej, nieskończonej prostej, a rozszerzaniem się nieskończonego przecież i wszystko obejmującego Wszechświata istnieje związek, czy nie? Czy istnieje (i jaki?) związek pomiędzy paradoksem Achillesa i żółwia, a pytaniem, czy można skonstruować komputer, który w skończonym czasie wykona nieskończoną liczbę operacji?
Książka Wapnera mówi o czystej, pięknej, eleganckiej matematyce samej w sobie. Taka matematyka jest jak dzieło sztuki. Nie musi "do czegoś służyć", choć bez abstrakcyjnej, teoretycznej, współczesnej matematyki nie byłoby też większości nowoczesnych rozwiązań technologicznych.
Pamiętajmy jednak, że matematyka nie zajmuje się baranami, choć jest potrzebna do ich liczenia. Liczba 47 jest abstrakcją, a nie baranami w kierdlu. Matematyka zajmuje się abstrakcyjnymi bytami i relacjami pomiędzy nimi, oraz zasadami logicznymi odkrywania (tworzenia) tych bytów i relacji. W słynnym epigramie Bertrand Russell powiedział: "Czysta matematyka jest dziedziną, w której nie wiemy, o czym mówimy, ani czy to, co mówimy, jest prawdziwe". Tym, którzy chcą poznać taką matematykę, a nie szkolne "rachunki", polecam książkę Wapnera.
Leonard M. Wapner, The Pea and the Sun. A Mathematical Paradox, A K Peters, 2005
