Klasa Bradmana

Wybitny angielski matematyk G.H. Hardy słynął z zamiłowania do krykieta. Każdy dzień zaczynał od lektury tych stron „Timesa”, na których można było znaleźć wyniki najlepszej na świecie australijskiej ligi krykietowej. John Maynard Keynes zauważył kiedyś, że gdyby słynny matematyk z takim samym zapałem oddawał się analizie notowań giełdowych, byłby bardzo bogatym człowiekiem. Hardy nawet na łożu śmierci nie zapominał o swej ukochanej grze – miał powiedzieć do opiekującej się nim siostry: „Gdybym wiedział, że dzisiaj umrę, chciałbym przedtem wysłuchać wyników rozgrywek krykieta”. Miał też zwyczaj klasyfikować matematyków. Wypracował przy tym skalę matematycznego geniuszu, której poszczególne stopnie określane były nazwiskami krykiecistów. Przez pewien czas klasą najwyższą była klasa Hobbsa, gdyż Hardy uważał Brytyjczyka Jacka Hobbsa za najlepszego gracza na świecie. Pod koniec lat 30. XX w. musiał jednak zmienić zdanie. W liście do swego przyjaciela C.P. Snowa pisał: „Bradman o klasę przewyższa wszystkich batsmenów, jacy żyli na tym świecie; jeżeli Archimedes, Newton i Gauss pozostaliby w klasie Hobbsa, musiałbym dopuścić możliwość istnienia wyższej klasy, co trudno mi sobie wyobrazić. Lepiej więc będzie ich przesunąć do klasy Bradmana”.

Copernicus Festival w Krakowie!

Hasłem przewodnim drugiej edycji jest "Geniusz".

• Dowiedz się więcej na stronie festiwalu copernicusfestival.com
• Przeczytaj więcej w katalogu festiwalowym
• Co, gdzie i kiedy na Festiwalu? Zobacz kalendarz wydarzeń

Kłamstwa, bezczelne kłamstwa i statystyki

Kim był sir Donald Bradman, który w krykiecie osiągnął to, co w matematyce udało się tylko największym? Był niewątpliwym sportowym fenomenem. W krykiecie rozgrywane są tzw. mecze testowe – kilkudniowe pojedynki drużyn narodowych. Pierwszy mecz testowy odbył się w 1877 r. pomiędzy Australią i Anglią, a dziś prawo ich rozgrywania ma tylko dziesięć reprezentacji. Bradman rozegrał dla Australii 52 mecze testowe, w których osiągnął tzw. batting average [średnią uderzeń – red.] 99,94. Drugi w tej statystyce jest dziś Mominul Haque z Bangladeszu, który ma średnią 63,05. Jeszcze tylko trzech innych graczy osiągnęło średnią powyżej 60, a każdy wynik powyżej 50 uważany jest za znakomity.

Statystyk Charles Davis w książce „The Best of the Best”, próbując zobrazować, jak niezwykłe były wyczyny Bradmana, porównał jego osiągnięcia z rekordami innych sportowców, m.in. Michaela Jordana i Pelego. Okazało się, że średnia punktów zdobywana przez Jordana w trakcie jego kariery (30,21) odbiega o 3,4 odchylenia standardowego od średniej graczy, którzy w tym samym czasie występowali na boiskach NBA; 1280 goli w 1363 meczach, które zdobył Pele, odbiega o 3,7 odchylenia standardowego od średniej piłkarzy grających w piłkę na poziomie międzynarodowym w latach 60. i 70. Tymczasem batting average Bradmana odbiega od średniej aż o 4,4 odchylenia standardowego. Gdyby Jordan chciał mieć podobny wynik, musiałby rzucać średnio 43 punkty na mecz!

Dociekliwy czytelnik zaprotestuje w tym miejscu, zauważając, że roli Jordana nie można sprowadzać do liczby zdobywanych przez niego punktów, a gole strzelane przez Pelego nie były wszystkim, co wnosił on do gry swych drużyn. Aż ciśnie się na usta słynne powiedzenie Marka Twaina: są trzy rodzaje kłamstw – kłamstwa, bezczelne kłamstwa i statystyki. Spieszę zatem dodać, że Bradmana podziwiano także za charakter – był pracowity i skromny, sam odpowiadał na tysiące listów, które dostawał od swych fanów, a gdy zakończył karierę sportową, okazał się inteligentnym mówcą i organizatorem życia sportowego. Historycy są też zgodni, że jego postać odegrała olbrzymią rolę w czasach Wielkiego Kryzysu, pozwalając Australijczykom przetrwać trudny okres w poczuciu narodowej dumy.

Przepis na Gaussa

Jaki splot okoliczności sprawia, że uznajemy kogoś za geniusza? Jakie wrodzone i wyćwiczone zdolności pozwalają zaliczyć kogoś – obok Archimedesa, Newtona i Gaussa – do matematycznej klasy Bradmana? Niestety, nie znamy jednoznacznej odpowiedzi na to pytanie. Trudno nawet powiedzieć, kto zasługuje na miano matematycznego geniusza. Oliver Sacks w jednym z rozdziałów książki „Mężczyzna, który pomylił swoją żonę z kapeluszem” opisuje przypadek dwóch bliźniaków, Johna i Michaela. Bliźniacy mieli inteligencję poniżej przeciętnej – IQ 60; nie potrafili także dokonywać nawet prostych operacji arytmetycznych. Pomimo to umieli – w przedziale 80 tysięcy lat – usłyszawszy datę, powiedzieć, jaki był to dzień tygodnia. Dysponowali niezwykłą pamięcią: potrafili dokładnie opisać pogodę i wydarzenia z każdego dnia ich życia i z łatwością zapamiętywali nawet trzystucyfrowe liczby.

Sacks opisuje też dwa niezwykłe zdarzenia z udziałem bliźniaków. Pewnego razu na podłogę spadło pudełko zapałek, które rozsypały się wokół. Bliźniacy od razu wspólnie wykrzyknęli „111”, co okazało się prawdziwą liczbą zapałek. Jeszcze bardziej nieprawdopodobna była sytuacja, w której Sacks zastał bliźniaków wymieniających się sześciocyfrowymi liczbami. Zapisawszy je, po powrocie do domu sprawdził, że były to liczby pierwsze. Uzbrojony w tabele liczb pierwszych wrócił do bliźniaków i wypowiedział ośmiocyfrową liczbę pierwszą. Bracia wyraźnie się ucieszyli, a po pewnym czasie zaczęli wymieniać się dziesięcio-, dwunasto-, a nawet dwudziestocyfrowymi liczbami, o których Sacks mógł jedynie domniemywać, że należą do liczb pierwszych. Co ważne, bliźniacy zapytani, w jaki sposób policzyli zapałki czy jak znaleźli liczby pierwsze, odpowiadali, że po prostu to „zobaczyli”. O takich ludziach, jak John i Michael, mówi się, że mają syndrom sawanta: są to zwykle osoby autystyczne, które wykazują niezwykłe zdolności w jakiejś dziedzinie: w matematyce, muzyce albo sztukach plastycznych.
Jeszcze innym typem zdolności matematycznych pochwalić się mogą osoby, które mają przeciętny iloraz inteligencji, ale wyspecjalizowały się w wykonywaniu pewnych operacji arytmetycznych. Takim „ludzkim kalkulatorem” jest na przykład Rüdiger Gamm, który potrafi z łatwością podnosić liczby do dziewiątej potęgi i wyciągać pierwiastki piątego stopnia, a także wyliczać iloraz dwóch liczb pierwszych do sześćdziesiątego miejsca po przecinku. Jednym z najsłynniejszych „ludzkich kalkulatorów” XX wieku był Jacques Inaudi. Odpowiedzi na pytanie, ile wynosi iloczyn 869 i 427, udzielił w sześć sekund (371063); zapytany, ile jest 70846 razy 88875, po 55 sekundach odpowiedział, że 6296438250. Inaudi potrafił też wykonywać dwa zadania obliczeniowe równocześnie. Na spotkaniu francuskiej Akademii Nauk Poincaré zadał mu pytanie, ile wynosi 4801 podzielone przez pierwiastek kwadratowy z 6, a Bertrand – jaki dzień tygodnia był 11 marca 1822 r. Po chwili Inaudi udzielił odpowiedzi: liczba, o którą pytał Poincaré, to 1960, zaś 11 marca 1822 był poniedziałek, a osoba, która urodziłaby się tego dnia, żyłaby tyle a tyle godzin, minut i sekund.

Można z dużą dozą pewności stwierdzić, że Hardy nie umieściłby ani bliźniaków opisanych przez Sacksa, ani Inaudiego czy Gamma w klasie Bradmana – zapewne zresztą w ogóle nie uznałby ich za matematyków. Geniusz matematyczny to ktoś inny: ktoś, kto nie tylko potrafi szybko liczyć czy odkrywać w mgnieniu oka zaskakujące własności liczb, ale ten, kto wnosi ogromny, twórczy wkład w rozwój matematyki. Wydaje się jednak, że istnieją pewne umiejętności, które geniusz matematyczny dzieli z „ludźmi-kalkulatorami” i sawantami.

Pierwszą z nich jest zdolność do zapamiętywania ogromnej ilości faktów – a w interesującym nas kontekście – faktów matematycznych. Potwierdzeniem tego domysłu są nie tylko anegdotyczne relacje, takie jak dokonane przez Sacksa opisy możliwości pamięciowych bliźniaków, ale także badania z użyciem obrazowania mózgu, którym poddano Rüdigera Gamma. Wykazały one, że Gamm – dokonując obliczeń – korzysta nie tylko z pamięci roboczej, ale także z pamięci epizodycznej, będącej rodzajem pamięci trwałej. Sugeruje to, że osoby, które posiadają nadzwyczajne zdolności matematyczne, mają bezpośredni dostęp do niemal nieograniczonych zasobów pamięci.

Sama tylko, choćby niezwykła, pojemność pamięci nie wystarcza jednak do wyjaśnienia umiejętności geniuszy, sawantów i „ludzi-kalkulatorów”. Pamięć tę trzeba jakoś wypełnić, dlatego istotnym składnikiem ponadprzeciętnych zdolności matematycznych musi być długotrwały trening, ciągłe, obsesyjne wręcz zajmowanie się matematyką. Gauss wyznawał, że często łapał się na tym, iż podświadomie liczy swoje kroki. Taki obsesyjny trening matematyczny ma dwa aspekty. Po pierwsze – co zdaje się być zdolnością szczególnie rozwiniętą u sawantów – ćwiczenie daje konkretną znajomość liczb. Matematyk Wim Klein zauważył: „Liczby są dla mnie, mniej lub bardziej, przyjaciółmi. Przecież 3844 nie znaczy to samo dla ciebie, co dla mnie, prawda? Dla ciebie jest to tylko trzy, osiem, cztery i cztery. Ale ja mówię: »Cześć, 62 do kwadratu!«. Sacks spekuluje, że bliźniacy i inne uzdolnione matematycznie osoby z syndromem sawanta mówią: „Cześć!” milionom liczb.

Drugi aspekt treningu matematycznego, charakterystyczny zarówno dla geniuszy, jak i dla „ludzi-kalkulatorów”, polega na tym, że ciągłe obcowanie z matematyką pozwala na zbudowanie całego arsenału metod i tricków pomagających w liczeniu i rozwiązywaniu problemów matematycznych. Jeden z najwybitniejszych fizyków XX w., Richard Feynman, opowiada, jak w Los Alamos za arcymistrza w rachunkach uchodził Hans Bethe. „Kiedyś na przykład – pisze Feynman – podstawialiśmy różne liczby do wzoru i potrzebne było 48 do kwadratu. Sięgam po kalkulator Marchanta, a on mówi: »To będzie 2300«. Zaczynam naciskać guziki, a on mówi: »A dokładnie 2304«. Maszyna wyświetla 2304. »Kurczę! Niezły jesteś!«, mówię. »Nie wiesz, jak się oblicza kwadrat liczb zbliżonych do 50? – pyta. – Podnosisz do kwadratu 50 – to daje 2500 – i odejmujesz 100 razy różnica 50 i twojej liczby (w tym wypadku 2), czyli wychodzi 2300. Jeżeli potrzebujesz dokładny wynik, podnosisz różnicę do kwadratu i dodajesz. Wychodzi 2304«. Kilka minut później potrzebowaliśmy pierwiastek sześcienny z 2,5. Aby obliczyć pierwiastek sześcienny na Marchancie, trzeba było wziąć pierwsze przybliżenie z tablic. Otwieram szufladę, żeby wyjąć tablice – trwa to więc trochę dłużej niż przedtem – a on mówi: »To będzie mniej więcej 1,35«. Sprawdzam na Marchancie i rzeczywiście tyle wychodzi. »Jak to zrobiłeś? – pytam. – Masz jakąś tajemną metodę pierwiastkowania?«. »To proste: logarytm z 2,5 wynosi tyle a tyle. Jedna trzecia tego logarytmu zawiera się pomiędzy logarytmem z 1,3, który wynosi tyle, i logarytmem z 1,4, który wynosi tyle, więc dokonałem interpolacji«”.

Oczywiście niezwykła pamięć, ciągłe obcowanie z matematyką czy wypracowanie całego szeregu tricków obliczeniowych nie tłumaczą jeszcze geniuszu matematycznego. Gauss był Gaussem nie dlatego – albo lepiej: nie tylko dlatego – że obsesyjnie zajmował się matematyką, ale z tego względu, że udowodnił prawo wzajemności reszt kwadratowych i twierdzenie wyborne. Nie wiemy, co odpowiada za takie wglądy w strukturę matematyki; możemy być jednak pewni, że bez określonych wrodzonych zdolności i długotrwałego treningu byłyby one niemożliwe.

Koniec geniuszu?

W eseju napisanym w latach 80., „Losing the Edge”, Stephen Jay Gould wyjaśniał, dlaczego w baseballu nie ma już tak genialnych graczy jak Babe Ruth czy Ty Cobb, których średnia uderzeń zbliżała się do 0.400, poziomu nieosiągalnego dla współczesnych zawodników. Gould twierdzi, że geniusz baseballu na dobre wylądował na śmietniku historii, ale nie dlatego, że dzisiejsi baseballiści są gorsi niż ich poprzednicy z lat 20., ale dlatego, iż podniósł się średni poziom zawodników Major League Baseball. Trudno oczekiwać, że pojawi się nowy Cobb, bo kandydaci na to zaszczytne miano mają za tło niewiele gorszych baseballistów.

Obserwację tę można uogólnić na wszelkie dziedziny kultury. W zinstytucjonalizowanych i znormalizowanych ramach współczesnej nauki trudno o nowych Newtonów, Gaussów i Einsteinów – choć rodzą się niewątpliwie ludzie o podobnych zdolnościach, nie odstają oni aż tak od tła tworzonego przez całe zastępy zdolnych naukowców. Nie sposób też wyobrazić sobie nowego Szekspira w świecie, w którym literatura stała się wielkim przemysłem pełnym mniej lub bardziej wybitnych prozaików, poetów i eseistów. W kraju ślepców jednooki jest królem; w kraju ludzi dobrze widzących ktoś obdarzony najbardziej sokolim wzrokiem widzi tylko trochę lepiej niż reszta.

Możemy zatem, przynajmniej z pewnej perspektywy, mówić o końcu geniuszu. Paradoks polega na tym, że koniec geniuszu nie oznacza wcale końca geniuszów. Wręcz przeciwnie – nie było chyba okresu w historii, w którym tak łatwo szafowano by przymiotnikiem „genialny”. Co chwilę mamy do czynienia z genialnymi powieściami, teoriami naukowymi, płytami, piłkarzami, wynalazkami, przedstawieniami teatralnymi… Geniusz umarł, ale zdaje się, że dobrze mu z tym. Człowiek ma głęboko zakorzenioną – niektórzy twierdzą, że religijną – potrzebę obcowania z czymś większym, doskonalszym, bardziej wzniosłym.
Potrzebujemy klasy Bradmana, choć być może drugiego Bradmana już nie będzie. ©