Szanowny Użytkowniku,

25 maja 2018 roku zaczyna obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. w sprawie ochrony osób fizycznych w związku z przetwarzaniem danych osobowych i w sprawie swobodnego przepływu takich danych oraz uchylenia dyrektywy 95/46/WE (określane jako „RODO”, „ORODO”, „GDPR” lub „Ogólne Rozporządzenie o Ochronie Danych”). W związku z tym informujemy, że wprowadziliśmy zmiany w Regulaminie Serwisu i Polityce Prywatności. Prosimy o poświęcenie kilku minut, aby się z nimi zapoznać. Możliwe jest to tutaj.

Rozumiem

Reklama

Logarytmy, wzory, formułki

Logarytmy, wzory, formułki

01.12.2013
Czyta się kilka minut
Równanie jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Jest to warunek zapisany w postaci A=B, czyli równości, nakładany na pewne niewiadome obiekty matematyczne, jak liczby, wektory, macierze, funkcje itp.
C

Choć równanie jest zapisane w formie tezy, nie jest twierdzeniem, które może być prawdziwe lub fałszywe. Jest to raczej problem, polegający na znajdowaniu takich wartości zmiennych w wyrażeniach A i B, dla których spełniony jest warunek równości.

Znak „=” został wprowadzony do matematyki przez walijskiego matematyka Roberta Recorde’a w 1557 r. Większość praw fizycznych wyrażamy w postaci równań. Niektórzy pamiętają ze szkoły najważniejsze równania, wyrażające np. twierdzenie Pitagorasa, prawo powszechnego ciążenia, wzór na drogę przebytą w danym czasie. Większość potrafi przeliczyć złote na euro, uncje na gramy, litry spalonej benzyny na pieniądze, nie zdając sobie nawet sprawy, że „mówią prozą”, czyli że rozwiązują przy tym równania. Rzadko jednak uświadamiamy sobie, jaką rolę odegrało formułowanie i rozwiązywanie równań w rozwoju cywilizacji.
Ian Stewart pokazuje, w jaki sposób te matematyczne formuły stanowią podstawę niemal wszystkich naszych działań i dokonań. Autor, rocznik 1945, jest matematykiem zajmującym się teorią układów złożonych. Pracuje na University of Warwick w Anglii. Jest znanym popularyzatorem matematyki. Współpracuje z „Scientific American” i „New Scientists”. Kilkanaście jego książek ukazało się w Polsce.
Większość ludzi „nie lubi” matematyki. Zastosowałem cudzysłów, bo jak można nie lubić czegoś, czego się nie zna? Ian Stewart potrafi się przebić przez mur lęku, uprzedzenia i niechęci. Wybrał 17 równań, które opisują wiele rzeczy wokół nas: geometrię przestrzeni, kształty brył, rozkłady statystyczne, przepływy wody, powietrza i prądu elektrycznego, przemiany termodynamiczne, teorię chaosu i informacji, świat kwantowy. Nawet liczby zespolone, które stanowiły jedną z przyczyn „niepokojów wychowanka Törlessa” (bohatera powieści Roberta Musila), znalazły się na tej liście.
Podobno Stephen Hawking, podpisując kontrakt na słynną „Krótką historię czasu”, usłyszał od wydawcy ostrzeżenie: „każdy wzór, jaki znajdzie się w książce, zmniejszy jej sprzedaż o połowę”. Może dlatego pojawia się w niej tylko jeden: E=mc2... Ale twierdzenie wydawcy nie może być prawdziwe. 17 wzorów w książce Stewarta powinno zmniejszyć jej sprzedaż 217 = 131 072 razy! Praktycznie nikt nie powinien jej kupić. Tymczasem anglojęzyczna wersja sprzedaje się bardzo dobrze, a i w Polsce znam już kilka osób, które nie dały się przestraszyć. Ci, którzy książkę kupili, na pewno nie żałują – znaleźli się w dobrych rękach.
Stewart wybrał równania zarówno dobrze znane (np. twierdzenie Pitagorasa, prawo powszechnego ciążenia, logarytmowanie), mniej znane, choć powszechnie stosowane w praktyce (np. rozkład normalny, równanie falowe, równania Maxwella itp.), a także całkiem egzotyczne dla laików (równanie Schrödingera, równania teorii informacji czy równanie Blacka-Scholesa). Nie zajmuje się matematycznymi wyprowadzeniami. Opisuje za to, skąd, historycznie biorąc, się wzięły, jaką rolę odegrały w rozwoju matematyki, fizyki, inżynierii, informatyki czy ekonomii. Sporo pisze o praktycznych zastosowaniach. Matematycy czy fizycy mogą być mało zainteresowani niektórymi wywodami, dla nich oczywistymi, ale inne będą dla nich interesującą nowością. Laicy powinni być zadowoleni z całości – książka jest prosta, ciekawa i pożyteczna.
Jednym z równań opisywanych w książce Stewarta jest słynne E=mc2 – zapewne najsłynniejsze równanie w dziejach. Wyraża ono równoważność masy i energii, zostało wprowadzone do fizyki w 1905 r. przez Alberta Einsteina w pracy „Czy bezwładność ciała zależy od zawartej w nim energii”. Mówiąc w wielkim uproszczeniu, wynika z niego, że masa i energia są równoważnymi wielkościami fizycznymi, że jedna może przemieniać się w drugą. Wiążący masę m z energią E współczynnik c2 jest prędkością światła w próżni, podniesioną do kwadratu. Współczynnik ten jest bardzo duży. Gdybyśmy, zgodnie z tym równaniem, przeliczyli, ile energii uzyskać można z jednego grosza (monety o masie 1,64 grama), okazałoby się, że byłaby to energia odpowiadająca tej, którą produkują wszystkie polskie elektrownie (zakładając, że jednocześnie działają z pełną mocą) w ciągu dwóch godzin. Tak więc za niewiele ponad czterdzieści złotych (w monetach jednogroszowych) mielibyśmy zapewnione roczne zapotrzebowanie Polski na energię.
Zamiana jednogroszówek bezpośrednio na prąd jest niewykonalna (możemy nimi płacić za prąd generowany w inny sposób, tyle że rachunek jest o wiele wyższy), ale przemiana tych wielkości zachodzi w przyrodzie w sposób zarówno naturalny, jak i sztuczny. Przykładem reakcje termojądrowe na Słońcu, a na Ziemi eksplozje jądrowe i termojądrowe, elektrownie atomowe, akceleratory cząstek elementarnych.
Co ciekawe, choć fizyczna idea równoważności masy i energii została przedstawiona przez Einsteina w 1905 r., to sam wzór E=mc2, w takiej właśnie formie i z użyciem takich, a nie innych symboli, powstał znacznie później. Po raz pierwszy użył go Einstein w tytule popularnego artykułu w „Science Illustrated” w 1946 (!) roku: „E=mc2: the most urgent problem of our time”.
Brian Cox i Jeff Forshaw napisali piękną książkę o teorii względności i współczesnej fizyce. Obaj autorzy pracują na University of Manchester i są zarówno znanymi fizykami (Cox bierze udział w eksperymentach w CERN, a Forshaw jest fizykiem teoretykiem), jak i popularyzatorami. Wyjaśniając, co oznacza i skąd się wziął słynny wzór, autorzy rozprawiają się z popularnymi nieporozumieniami. Przedstawiają niezorientowanemu czytelnikowi jego historię i fundamentalne znaczenie. Wychodząc od pojęć przestrzeni i czasu, poprzez historyczne doświadczenie Michelsona i Morleya, dowodzące stałości prędkości światła (niezależnie od ruchu obserwatora), i pojęcie czasoprzestrzeni, prowadzą popularny wykład szczególnej teorii względności. Podobnie jak Hawking, wzięli sobie do serca ostrzeżenie wydawcy przed używaniem wzorów. Można je w książce policzyć na palcach obu dłoni.
Końcowa część traktuje o sprawach trudniejszych, jak ogólna teoria względności, zakrzywione czasoprzestrzenie, nadawanie cząstkom masy przez bozon Higgsa, najnowsze doświadczenia w Wielkim Zderzaczu Cząstek w CERN – ale i ona utrzymana została na bardzo popularnym poziomie. W sumie książka skierowana jest do czytelników niezwiązanych na co dzień ani z fizyką, ani z matematyką, stanowi przykład dobrej, skupionej na wybranym temacie, rzetelnej popularyzacji.
Obie książki powinny przyczynić się do przełamania tradycyjnego w Polsce lęku przez matematyką i fizyką. Przecież dowodu twierdzenia Pitagorasa można nauczyć dzieci w szkole podstawowej. Można go przeprowadzić (tak jak Pitagoras) bez używania algebry, przekształceń wzorów, rachunków – czysto geometrycznie. Podobnie przewidziany przez teorię względności efekt dylatacji czasu (różnicy wskazań zegarów poruszających się względem siebie) może zostać wyjaśniony, nawet w ilościowy sposób, z wyprowadzeniem odpowiedniego wzoru, już w gimnazjum – wystarczy znajomość twierdzenia Pitagorasa i tego, że prędkość światła jest taka sama względem każdego obserwatora. W liceum można wyprowadzić wzór E=mc2 – do tego potrzebna jest wiedza o stałej prędkości światła i znajomość zasady zachowania pędu.
Po co to wszystko? Jeden z rozdziałów książki Coxa i Forshawa odpowiada na to pytanie. Dość powiedzieć, że bez znajomości tych efektów (i opisujących je równań) nie byłoby energii atomowej (we Francji 80 proc. energii pochodzi z tego źródła) czy systemu GPS, teraz już instalowanego w większości telefonów komórkowych.
Choć wiersz Juliana Tuwima „Nauka” (1923):

Nauczyli mnie mnóstwa mądrości,
Logarytmów, wzorów i formułek,
Z kwadracików, trójkącików i kółek
Nauczali mnie nieskończoności

jest piękny i przewrotny, nie należy się poddawać jego sceptycznej i smutnej wymowie. Przecież ten wiersz dowodzi, że Tuwima ktoś bardzo dobrze nauczył „logarytmów, wzorów i formułek”. A że życie nie daje się nimi opisać, to już inna sprawa.

Ian Stewart, 17 równań, które zmieniły świat tłum. Julia Szajkowska, Warszawa 2013, Wydawnictwo Prószyński i S-ka.

Brian Cox, Jeff Forshaw, Dlaczego E=mc2 (i dlaczego powinno nas to obchodzić) tłum. Joanna i Adam Skalscy, Warszawa 2013, Wydawnictwo Prószyński i S-ka.

Czytasz ten tekst bezpłatnie, bo Fundacja Tygodnika Powszechnego troszczy się o promowanie czytelnictwa i niezależnych mediów. Wspierając ją, pomagasz zapewnić "Tygodnikowi" suwerenność, warunek rzetelnego i niezależnego dziennikarstwa. Przekaż swój datek:

Dodaj komentarz

Usługodawca nie ponosi odpowiedzialności za treści zamieszczane przez Użytkowników w ramach komentarzy do Materiałów udostępnianych przez Usługodawcę.

Zapoznaj się z Regułami forum
Jeśli widzisz komentarz naruszający prawo lub dobre obyczaje, zgłoś go klikając w link "Zgłoś naruszenie" pod komentarzem.

Zaloguj się albo zarejestruj aby dodać komentarz

© Wszelkie prawa w tym prawa autorów i wydawcy zastrzeżone. Jakiekolwiek dalsze rozpowszechnianie artykułów i innych części czasopisma bez zgody wydawcy zabronione [nota wydawnicza]. Jeśli na końcu artykułu znajduje się znak ℗, wówczas istnieje możliwość przedruku po zakupieniu licencji od Wydawcy [kontakt z Wydawcą]