Umysły i kąty

Psychologowie badają przetwarzanie pojęć matematycznych przynajmniej od lat 60. XX w. W ostatnich dekadach dołączyli do nich antropolodzy, neurobiolodzy, filozofowie i lingwiści, tworząc nową, interdyscyplinarną perspektywę badawczą – kognitywistykę matematyki. Co roku publikowane są setki artykułów, przybliżających nas do zrozumienia, jak ludzki umysł radzi sobie z liczbami. Znacznie mniej badań koncentruje się natomiast na geometrii euklidesowej.

Nie sposób tymczasem zrozumieć poznanie matematyczne, pomijając geometrię. Geometria euklidesowa – czyli ta znana każdemu z nas ze szkoły, funkcjonująca w zwykłej (płaskiej) przestrzeni; sformalizowana ok. 300 lat p.n.e. przez Euklidesa – od wieków jest królową nauk i wzorcem ścisłego myślenia. W starożytności nawet teoria liczb miała geometryczny charakter, a system Euklidesa stanowi w istocie pierwszy system aksjomatyczno-dedukcyjny (czyli skonstruowany ściśle na bazie kilku założeń początkowych – aksjomatów) w historii matematyki. Wokół natury wiedzy o przestrzeni toczą się gorące spory filozoficzne, a wielu słynnych uczonych, by wymienić tylko Richarda Feynmana i Rogera Penrose’a, sugerowało, że ich myślenie ma zawsze charakter geometryczny.

O psychologicznych podstawach geometrii wiemy mniej niż o myślowym przetwarzaniu liczb, ale z dotychczasowych badań zaczyna się wyłaniać spójny obraz.

Dwa systemy

Zgodnie z teorią zaproponowaną przez Elizabeth Spelke, badaczkę z Uniwersytetu Harvarda, ludzkie niemowlęta, podobnie jak inne ssaki, rodzą się wyposażone w podstawową wiedzę umożliwiającą im radzenie sobie w świecie. Mówimy, że wiedza ta zakodowana jest w „rdzennych systemach poznawczych”, ponieważ ich działanie obserwować można w rozwoju osobniczym zbyt wcześnie, by mogło być wytłumaczone jako wynik uczenia się. Są one raczej wytworami doboru naturalnego, mającymi rozwiązywać ważne życiowe problemy. Spelke wraz z Katherine Kinzler piszą, że: „systemy te służą do reprezentowania nieożywionych obiektów i ich mechanicznych interakcji, sprawczych podmiotów i działań nakierowanych na cel, zbiorów i liczbowych relacji uporządkowania, dodawania i odejmowania, a także lokalizacji przestrzennych i ich własności geometrycznych”. Podstawy naszej wiedzy geometrycznej tkwią w dwóch systemach rdzennych. Pierwszy z nich nazywany jest „systemem geometrii przestrzennej”, a jego mózgową podstawą jest formacja hipokampa, drugi zaś „systemem geometrii obiektowej”. Ten ostatni zlokalizowany jest w strukturach kory bocznej potylicznej oraz bruzdy skroniowo-potylicznej.

Pierwsze dane eksperymentalne świadczące o istnieniu systemu geometrii przestrzennej pojawiły się już w latach 80., kiedy Ken Cheng i Charles Randy Gallistel odkryli, że szczury orientują się w przestrzeni głównie na podstawie analizy całościowej geometrii pomieszczenia, a nie rozmieszczonych w nim charakterystycznych obiektów.

Postanowili sprawdzić, w jaki sposób szczury odnajdują nagrodę ukrytą w jednym z rogów prostokątnej areny ograniczonej ściankami. Gdy gryzonie wiedziały już, gdzie szukać pożywienia, badacze dezorientowali je, a następnie obserwowali ich ponowne poszukiwania. Najpierw zaaranżowano sytuację, gdzie jedyną informacją, z której mogły skorzystać szczury, była geometria pomieszczenia – pozbawione było ono punktów charakterystycznych, a wszystkie ściany miały ten sam kolor.

Okazało się, że poszukiwania zdezorientowanych gryzoni nie są chaotyczne, ale ograniczają się albo do poprawnej lokalizacji pożywienia, albo identycznego pod względem własności geometrycznych rogu po przekątnej areny. Cheng i Gallistel sprawdzili również, co się stanie, jeśli do wybiegu wprowadzony zostanie punkt orientacyjny (np. jedna ze ścian będzie mieć inny kolor). Okazało się, że szczury nie korzystały z tej podpowiedzi, ale wciąż poszukiwały nagrody w poprawnym rogu albo jego geometrycznym odpowiedniku.

Z wyników tych eksperymentów wyprowadzono dwa wnioski: po pierwsze, zwierzęta wykazują czułość na geometrię środowiska; po drugie, geometria środowiska jest podstawową informacją wykorzystywaną w orientacji przestrzennej. Późniejsze badania przeprowadzone przez Spelke ujawniły podobną prawidłowość u 22-miesięcznych dzieci.

System geometrii przestrzennej pomija informacje o kolorze, oświetleniu czy teksturze środowiska, koncentrując się na przetwarzaniu dwóch ważnych własności geometrii euklidesowej: odległości (długości) oraz kierunku. W konsekwencji pozwala na rozumowanie o pozycji osobnika oraz lokalizacji poszczególnych obiektów w środowisku. Poza jego zasięgiem jest jednak inna ważna własność geometryczna: kąt. Oznacza to, że system geometrii przestrzennej samodzielnie nie wystarcza do sprawnego myślenia na temat tego, co wszyscy doskonale pamiętamy ze szkolnych lekcji matematyki: dwuwymiarowych figur geometrycznych.

Zdaniem Spelke i jej współpracowników dobór naturalny ukształtował jednak także drugi system geometryczny. Jest on czuły na kształty niewielkich trójwymiarowych przedmiotów i z tego względu nazywany jest „systemem geometrii obiektowej”. Przy analizie kształtu system ten pomija, z czego przedmioty są zrobione, jaki mają kolor czy wreszcie to, jak są one zorientowane. Specjalizuje się w analizie kątów oraz długości, ale nie jest czuły na kierunek. Z tego względu nie nadaje się do orientowania się w przestrzeni ze względu na geometrię środowiska oraz zawodzi w zadaniach takich jak odróżnianie kształtu od jego lustrzanego odbicia.

Poza rdzenną geometrię

Choć dzięki rdzennym systemom poznawczym reagujemy na własności geometryczne, ich ograniczenia sprawiają, że żaden z nich z osobna nie może stanowić całościowej podstawy geometrii euklidesowej. Jednakże zdaniem Spelke oraz jej współpracowniczek, Sang Ah Lee oraz Véronique Izard, około czwartego roku życia „dzieci wykraczają poza te ograniczenia i konstruują nowy, kompletny i ogólny, system reprezentacji geometrycznych, łącząc produktywnie reprezentacje dostarczane przez te systemy”.

Przełom ten dokonuje się dzięki doświadczeniu, jakiego dzieci nabywają w operowaniu „narzędziami poznawczymi” (sens tego pojęcia wyjaśnimy nieco dalej): rysunkami, schematami graficznymi oraz modelami przedmiotów w zmniejszonej skali. Uczą się one wówczas, że przetwarzane pierwotnie przez system geometrii przestrzennej układy, takie jak własny pokój, mogą być postrzegane również jako dwuwymiarowe obiekty, których kształt wyznaczany jest przez kąty. Co więcej, oglądając niewielkie przedmioty (np. zabawki) z różnych perspektyw oraz „obracając” w umyśle dwuwymiarowe figury – przetwarzane pierwotnie przez system geometrii obiektowej – dzieci zaczynają rozumieć, że obiekty te mogą być eksplorowane z różnych perspektyw, w czym rolę odgrywać zaczyna kierunek. Jak twierdzą Barbara Landau oraz Laura Lakusta, proces przechodzenia od ograniczonych systemów rdzennych do bardziej ogólnego umysłowego systemu geometrycznego, obejmującego odległość (długość), kierunek oraz kąt, wzmacniany jest ponadto poprzez naukę słownictwa, umożliwiającego opisywanie relacji przestrzennych.

Geometria euklidesowa to jednak coś więcej niż uchwytywanie własności otaczającej nas przestrzeni i ­rozmieszczonych w niej obiektów (z czym radzą sobie inne zwierzęta oraz bardzo małe dzieci). Polega ona na operowaniu abstrakcyjnymi pojęciami, zauważaniu relacji, w które one wchodzą, oraz „umieszczaniu” ich w ­dowodach twierdzeń, cechujących się ogólnością i koniecznością. Uczymy się tej sztuki w szkołach, wykorzystując narzędzia wzorowane na tych, dzięki którym starożytni Grecy opracowali geometrię.

Narzędziami tymi są diagramy oraz techniczny język.

Potęga diagramów

Gdy zajrzymy do najsłynniejszego podręcznika do geometrii wszech czasów, czyli „Elementów” Euklidesa, nie znajdziemy w nim specyficznych symboli, które kojarzą się nam zwykle z matematyką. Zamiast tego będą tam zapisy dwóch rodzajów: diagramy oraz ciągi słów. Używane dziś powszechnie, nie tylko w geometrii, słowo „diagram” wywodzi się z gr. διάγραμμα, oznaczającego zarys figury. Zgodnie z tradycyjnym przekazem Grecy rozwijali geometrię najpierw kreśląc kształty na piasku (używali także woskowych tabliczek), a później zapisując (i uściślając) wnioski w formie tekstowej.

Choć w starożytności diagramy kreślili już matematycy babilońscy, egipscy oraz chińscy (ci ostatni ukuli prawdopodobnie przysłowie, że „jeden obraz wart jest więcej niż tysiąc słów”), to Grecy dodali do diagramów pewien pozornie błahy szczegół: zaczęli używać liter do oznaczania punktów diagramu, takich jak np. wierzchołki trójkąta. Wynalazek ten tradycyjnie przypisuje się Hipokratesowi z Chios, który żył w V w. p.n.e. – historyk matematyki Reviel Netz twierdzi, że utorował on drogę ku dedukcji, będącej największym wkładem Greków w rozwój matematyki. Zdaniem Netza to właśnie dzięki literom greckie diagramy są czymś więcej niż rysunkami pomocniczymi czy też pomocami szkolnymi, towarzyszącymi dowodowi zapisanemu słownie. Litery osadzają diagram w dyskursie tekstowym, dzięki czemu jest on integralną częścią dowodu twierdzenia – w wielu przypadkach nie ma możliwości, by zrekonstruować diagram na podstawie tekstu, a bez niego dowód staje się wybrakowany, twierdzenie traci prawdziwość i nie jest możliwe określanie, o jakich obiektach geometrycznych w ogóle mowa.

Netz proponuje, żeby greckie diagramy (i diagramy w ogóle) pojmować nie tylko w kategoriach wytworów kultury materialnej, ale również „zewnętrznych narzędzi poznawczych”. Narzędzia takie pozwalają przezwyciężyć indywidualne ograniczenia poznawcze (np. pamięci roboczej), umożliwiają współpracę wielu osób, które mogą się wspólnie mierzyć z danym problemem matematycznym, a przez to sprawiają, że możemy osiągnąć więcej. Warto zauważyć, że najprawdopodobniej oznaczenie diagramów literami służyło pierwotnie sprawniejszej komunikacji między geometrami, a nie do wyprowadzania wniosków w dowodzie. Z biegiem czasu wynalazek okazał się jednak mądrzejszy niż jego twórcy.

Końcowy efekt, z którym możemy się zetknąć, analizując „Elementy” Euklidesa, nie byłby jednak możliwy, gdyby nie sformułowanie technicznego języka geometrii.

Formuła i epos

Homera i Euklidesa łączy nie tylko to, że ich dzieła to filary kultury europejskiej, podczas gdy o nich samych nie wiemy prawie nic. Choć pierwszy z nich (o ile w ogóle istniał) spisał opowieści wyśpiewywane pierwotnie heksametrem przez niepiśmiennych bardów, drugi zaś uważany jest za ojca matematycznej ścisłości, to język, którymi posługiwali się obydwaj, cechuje się ważnym podobieństwem. W latach 60., analizując język homeryckich eposów, amerykańscy filologowie klasyczni Milman Perry i Albert Lord zauważyli, że nie jest on złożony z dowolnych fraz, lecz z ustalonych i powtarzających się ciągów słów, nazywanych „formułami”. Zgodnie z hipotezą Perry’ego i Lorda dzięki temu homerycki język zyskał swą charakterystyczną prozodyczną strukturę, która ułatwiała zapamiętywanie i przekazywanie treści. Dlatego homeryckie formuły – twierdzi Reviel Netz – są narzędziami poznawczymi.

Euklidesowe „Elementy” nie są oczywiście pisane heksametrem. Ich język daleki jest jednak od dowolności. Charakteryzuje się ograniczonym, złożonym wedle Netza z około 200 słów leksykonem, zorganizowanym wedle zasady „jedno pojęcie – jedno słowo”, co sprzyja precyzji i wyklucza homonimiczność typową dla języka potocznego. Słowa z geometrycznego leksykonu nie tworzą dowolnych kombinacji, ale układają się w ograniczoną (również około 200) liczbę formuł zorganizowanych wedle ścisłej hierarchii. Formuły te mogą być składnikami operacji matematycznych prowadzących do pewnych wniosków.

Specyficzny język Homera rozszerzał zdolności pamięciowe niepiśmiennych bardów; formularny język geometrii stanowi narzędzie poznawcze, które (jak twierdzi Netz) doprowadziło Greków do dostrzeżenia ogólności i konieczności twierdzeń matematycznych. Wypada zauważyć jeszcze jedno: choć mało kto dzisiaj zaczytuje się oryginałem dzieła Euklidesa (lub jego przekładem), prezentacja materiału geometrycznego w postaci diagramów i specyficznego języka technicznego przetrwała w szkolnej edukacji do czasów współczesnych.

Uchwytywanie własności geometrycznych nie jest czymś specyficznie kulturowym (potrafią to wszyscy ludzie) ani nawet specyficznym gatunkowo (występuje także u innych zwierząt). Tylko człowiek potrafi jednak wykorzystać ewolucyjnie stare, rdzenne systemy poznawcze do precyzyjnej charakterystyki przestrzeni, co wymaga przezwyciężenia ich ograniczeń. Niezależnie od tego, czy mówimy o podstawach poznania geometrycznego w rozwoju osobniczym, czy też historycznym, wydaje się, że szczególną rolę odgrywają pewne narzędzia. Choć są one wytworem ludzkiej kultury, oddziałują na nas zwrotnie, wzmacniając nasze poznanie – dlatego nazywamy je „poznawczymi”.

O matematyce zwykło się myśleć w kategoriach odkryć wybitnych jednostek. Nawet geniusze, tacy jak Euklides czy Archimedes, nie działali jednak w próżni, ale opierali się na prostych narzędziach, które okazały się mądrzejsze od ich twórców. ©

Dr MATEUSZ HOHOL jest adiunktem w Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych UJ i pracownikiem Instytutu Filozofii i Socjologii PAN. Realizuje projekt NCN „Mechanizmy poznania geometrycznego”.

Dr hab. MARCIN MIŁKOWSKI jest profesorem nadzwyczajnym w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN. Kieruje projektem NCN „Kognitywistyka w poszukiwaniu jedności: Unifikacja i integracja badań interdyscyplinarnych”.