Nawet trzy dałem radę, ale kalkulator pokazuje liczbę, której nie rozumiem do końca. Wow! Proszę wybaczyć wykrzyknik, ale inne słowa cisnęły się na usta. Trudno je zacytować. Troszkę boli, bo uświadamiam sobie, jakim jestem matematycznym ignorantem. Pierwszy raz przeczytałem o liczbie Grahama! Może lepiej zająć się żonglowaniem!!!

Fajny tekst. Mój Excel wyliczył, że 3II3 to jest 7 bilionów, zajmuje to około 5 cm. Tyle jest cyfr. 3II7 to już jest około 154 cm cyfr. 3II24 to już jest odległość 1020 km cyfr (mieści się w tej odległości około 265 milionów cyfr obok siebie jedna za drugą). Pierwsza odległość, która stanowi już wyzwanie dla światła to jest 3II54. Światło potrzebuje 2 lata na pokonanie takiego węża cyfr, gdyby z jakiegoś powodu urwały się z Excela i wyruszyły na spacer. Można powiedzieć że 3II55 sięga już gwiazd innych niż słońce. Gdyby na serio zaczęły sobie maszerować, to 3II83 daje sznur takiej długości, że światło potrzebowałoby 1,23 x wiek wszechświata na dotarcie do końca. A tyle jeszcze nie wędrowało. (Ciężko tylko sprawdzić, czy gdzieś nie ma błędu, ale upewniałem się) Może ktoś znajdzie jeszcze lepszy pomysł na pokazanie ile tego jest we właściwie niewielkich jeszcze liczbach. Próbowałem na plikach z zawartością, ale notatnik nie pozwala skopiować do pamięci milionów znaków tak po prostu.

genialna wizualizacja. Dziękuję za przybliżenie moim "szarym"

Są matematycy, którzy negują istnienie "bardzo dużych" liczb naturalnych, wśród nich np. Aleksandr Siergiejewicz Jesienin (tak, syn S. Jesienina), zob. https://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism Jest taka gra towarzyska, dla dorosłych i dzieci: Bierzemy kartkę (w razie potrzeby rolkę) papieru i ołówek (lub kilka), i piszemy dowolne liczby naturalne; wygrywa ten/ta, czyja liczba jest największa. Wolno stosować wszelkie, nawet ad hoc wymyślone, metody zapisu, byleby tylko można było a priori ustalić na ich podstawie rzeczywistą wartość danej liczby, tj. nie wolno napisać np. "liczba większa od wszystkich napisanych przez innych uczestników tej gry". Czas trwania jednej rundy gry: od 5 min. do "goście chcą iść do domu". W/s kalkulatorów liczących duże liczby, wypróbowałbym Bigal: https://johann.loefflmann.net/de/software/bigal/ i SpeedCrunch: http://www.speedcrunch.org/

podejrzewam, że może ono być jak najdalsze od zaiste nadprzyrodzonej zdolności "widzenia" pojęć wymykających się tzw. zdrowemu rozsądkowi. Może ludzie obdarzeni wyjątkowym talentem w tej dziedzinie potrafią abstrahować od myślenia "more geometrico" - np. wyobrażania sobie liczby Grahama jako fizycznego obiektu - obracając całą energię na symboliczne manipulacje, właśnie jakby żonglowanie? Tu małe osobiste wspomnienie z lat szkolnych, pośrednio związane z liczbą Grahama poprzez wspomniane w tekście twierdzenie Ramseya. Otóż wpadł mi raz w ręce egzemplarz radzieckiego pisma dla młodzieży z artykułem "Kak postroit' n-miernyj kub", przystępnie wyjaśniającym naturę n-wymiarowych hipersześcianów. Wizualizacja 4-wymiarowej bryły wydaje się rzeczą niemożliwą, ale w pewnym sensie na co dzień stykamy się z analogicznym problemem, interpretując dwuwymiarowe obrazy trójwymiarowej rzeczywistości. Ot, choćby prosty rysunek sześcianu: dwa przesunięte względem siebie kwadraty, których odpowiednie wierzchołki połączono ukośnymi odcinkami. Nasz mózg nie ma problemu z postrzeganiem w tym przestrzennej kostki, chociaż na dobrą sprawę drugi kwadrat powinien być narysowany na innej kartce, a ukośne kreski w rzeczywistości tworzą kąty proste z jego bokami. Na tej samej zasadzie rysuje się 4-wymiarowy sześcian (tesserakt), łącząc odcinkami odpowiednie wierzchołki dwóch kubików - zwykle mniejszego wewnątrz większego. Tyle że naprawdę ten wewnętrzny sześcian jest identyczny jak zewnętrzny i nie znajduje się w środku drugiego, lecz w zupełnie innej trójwymiarowej przestrzeni, jednej z nieskończenie wielu, jakie daje się wyznaczyć w czterech wymiarach. Taka hiperbryła ograniczona jest 8 sześcianami i ma 16 wierzchołków. Oczywiście można tak samo przejść do piątego wymiaru - dwa tesserakty połączone itd., tyle że tu zmysł przestrzenny zaczyna szwankować. Matematycznie jednak z łatwością da się wyliczyć liczbę "ścian" i wierzchołków w dowolnie wielu wymiarach. My, niematematycy (czyli jakieś 99,9% populacji) nie potrafimy jednak uciec od obrazów i dlatego nigdy nic ciekawego w matematyce nie wymyślimy, a mówiąc szczerze - nigdy nie pojmiemy większości z tego, co już wymyślono. Wielkie liczby i skomplikowane zależności po prostu fizycznie nas bolą. Być może jest to zresztą ogólna zasada. Wielki gracz giełdowy nie może "wizualizować" sobie wartości milionów traconych i zarabianych nieraz w ciągu kilku sekund, bo przypłaciłby to szaleństwem. Małysz chyba jednak nie przeżywa tak intensywnie przestrzeni rozciągającej się pod skocznią na Wielkiej Krokwi jak zwykły turysta z drżeniem spoglądający stamtąd na Zakopane. Trochę podobnie czuję się czytając takie jak ten artykuły - jak turysta w egzotycznym świecie. Ale i tak warto. Pozdrawiam.

...odgrywają jednak rolę podrzędną. Przypomina się słynna argumentacja z VI Medytacji Kartezjusza, gdzie K. argumentuje, że idea tysiącokąta jest "jasna i wyraźna" (termin techniczny u K.) nawet jeśli nikt nie potrafi sobie takiej figury wyobrazić; ale znamy jej definicję i regułę jej tworzenia. Powód, dla którego większość z nas nie wniesie nic do matematyki, nawet przy największych staraniach, jest taki, że nie potrafimy zrozumieć nawet reguł tworzenia zaawansowanych bytów matematycznych. Taka liczba Grahama jest już mocno na granicy tego, co da się zrozumieć, dla większości z nas. U św. Tomasza z Akwinu ("Kwestie dysputowane o prawdzie") są ciekawe rozważania o wiedzy Boga, w tym również Jego wiedzy nieskończoności (kwestia 2., artykuł 9.), także o tym, czy umysł anioła lub człowieka zbawionego może zrozumieć (nieskończoną) istotę Bożą (kwestia 8., artykuł 2.). Odpowiedź: nie, albo tylko tak, jak "wie", że suma kątów trójkąta jest równa dwom kątom prostym ktoś, kto to wie z autorytetu nauczyciela albo stąd, że "ita communiter dicitur" /tak się powszechnie mówi/. Cała kwestia 8. poświęcona jest poznaniu anielskiemu. Na przeciwległym krańcu liczb typu liczby Grahama czy Skewesa leżą liczny subityzowalne, tzn. takie, które możemy jednym rzutem oka przypisać pewnej grupie obiektów jako ich liczność. Nieskończenie większe od liczby Grahama są liczby nieskończone, jak np. najpoczciwsza z nich, alef-zero. A jest ich bardzo bardzo dużo, więcej, niż daje się policzyć przy pomocy jednej z nich...

... z tego powodu, choćby dla równowagi, zachęcałbym do zainteresowania się tzw. ultrafinityzmem: https://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitism jako stanowiskiem w filozofii matematyki.

do sporów realistów z nominalistami ;) Prawdę powiedziawszy, nie wiem, które podejrzenie prowadzi do bardziej niepokojących wniosków: to, że liczba Grahama i inne obiekty tego typu mają jakiekolwiek odniesienie do rzeczywistości, czy że są one li-tylko fantazmatami ludzkiego umysłu, który z kolei może być po prostu produktem ubocznym funkcjonowania około półtorakilogramowego kawałka materii organicznej, zwanej mózgiem. Rozumienie matematyki (w zasadzie rozumienie czegokolwiek) sprowadza się zatem do samozrozumienia. A to może być zwyczajnie niemożliwe. Jak ktoś to zręcznie ujął: "gdyby nasz mózg był na tyle prosty, żebyśmy mogli go zrozumieć, bylibyśmy za głupi, żeby tego dokonać".

... odniesienie do rzeczywistości". Zależy co nazywać "rzeczywistością". Czy zbiory są rzeczywiste? Jeśli tak, i jeśli Jan jest rzeczywisty, to i {Jan} (zbiór złożony z Jana) jest rzeczywisty. A także {{Jan}, Jan} i również {{{Jan}, Jan}, {Jan}, Jan} i tak [rozumiemy, jak] w nieskończoność, aż do LG i do LG+1, ...+2, +3... i do LG^LG, i nawet do LG↑↑↑LG i tak dalej i tak dalej.... A za tymi ogromnymi skończonościami czai się alef-zero, też utworzony tylko z naszego nieszczęsnego Jana za pomocą operacji tworzenia zbioru złożonego z zadanych uprzednio elementów... a jest to NAJMNIEJSZA z liczb nieskończonych! W/s nieskończoności polecam Mikołaja z Kuzy, Bernarda Bolzana, Jerzego Kantora... Co do kwestii "kawałka materii zwanego mózgiem" to: it don't madder. Wszelki umysł, wszystko jedno z czego zrobiony, będzie myślał tak samo.

w nurcie racjonalistycznym - nie jedynym ani nawet nie dominującym. Co do domniemanej równoważności wszelkich umysłów bez względu na ich fizyczny substrat - idei mocno uwikłanej w atrakcyjną dla nas wizję mózgu, zwłaszcza jego "racjonalnej" części, jako komputera - rzecz również nie jest oczywista. Tu, jeśli trzeba, polecę "Nowy umysł cesarza" Penrose'a.

dobrze, niech będzie taka łatka, ale ciekaw jestem, jak wyglądałaby /w uproszczeniu oczywiście/ rozumna (by nie powiedzieć: racjonalna...) dla takiego stanowiska alternatywa? Jak wyglądałby umysł zrobiony z innego surowca lub zgoła niematerialny? Czy np. nie umiałby utworzyć pojęcia zbioru? Albo umiałby coś, czego nasz nie potrafi, ale nie na zasadzie, że "bardziej" potrafi, co nasz potrafi "mniej", np. mnożyć w pamięci liczby 10-cyfrowe? Tego typu różnice są ciekawe, ale w pewien inny jednak banalne, bo taka umiejętność jest "naturalnym przedłużeniem" tych, które mamy i my. Ja np. mam b. słabą wyobraźnie przestrzenną, ale ktoś kto ma ją znacznie lepszą nie jest dla mnie przybyszem z innego świata, ale kimś takim, jak ktoś, kto szybciej biega, ładniej śpiewa, ma czulszy węch itp. Nie przeczę (co byłoby przejawem ciasnego dogmatyzmu), że taki umysł "zasadniczo odmienny" od naszego może istnieć, w jakimś odpowiednio osłabionym sensie słowa "może", ale czasem zdaje mi się, że po Heisenbergu, Schroedingerze i logikach para(in)konsystentnych nie ma już nic, co nasz "epifenomen trzech funtów materii" nie był w stanie stwierdzić czy wymyśleć...

nawiązując, jak w poprzednim swoim poście, do starej debaty pomiędzy realizmem a nominalizmem. Temat jest ciut za obszerny na dyskusję w formie komentarzy pod artykułem. Pozwolę sobie tylko zauważyć, że "konstruktywistyczny" postulat wskazania przynajmniej jednej cechy różniącej nasz umysł od umysłu zasadniczo innego zanim się na serio dopuści możliwość jego istnienia jest z zasady niespełnialny na mocy tautologii ;) Po prostu nie umiem sobie wyobrazić czegoś, czego nie umiem sobie wyobrazić, co nie znaczy, że nie mogę zakładać istnienia rzeczy dla mnie niewyobrażalnych (inna sprawa, czy taka hipoteza może mieć jakiekolwiek praktyczne konsekwencje). Co do ostatniego zdania natomiast, łatwo o kontrargumenty natury historycznej. W 1900 roku lord Kelvin przewidywał, że fizykom pozostają tylko coraz dokładniejsze pomiary...

... np. ja osobiście jestem człowiekiem obdarzonym bardzo słabą wyobraźnią, nie tylko przestrzenną, i większości rzeczy nie umiem sobie wyobrazić... jednak dopuszczam (co oczywiście nie znaczy: zakładam!) ich istnienie, myślowo, o ile w ich możliwie jak najbardziej rozwiniętym pojęciu nie ma sprzeczności. W języku niemieckim jest użyteczny idiom: es gibt nicht, was es nicht gibt (lub gäbe), tj. nie ma nic, czego by nie było. Ale porzućmy epistemologię i wróćmy do ontologii, a konkretnie Pana pytania, czy LG może się przydać do liczenia czegoś rzeczywistego. Pisałem, że np. takich zbiorów, jak {{...{Jan}..}} jest nieskończenie wiele... a są to zbiory zawstydzająco elementarne. Ale podobno cała rzeczywistość fizykalna ma naturę matematyczną, tzn. zrobiona jest nie z plasteliny ani papier-maché, tylko z bytów matematycznych, a więc ostatecznie -- ze zbiorów.... Jeśli tak, to...?

Dodam, że z powodów epistemologicznych nigdy nie podzielałem "atrakcyjnej" wizji umysłu [nie: mózgu] jako komputera, książkę Penrose'a czytałem dawno temu, ale to co z niej rozumiałem nie bulwersowało mnie.

Mam pytanie czy liczba Grahama opisuje liczbę możliwych rzeczywistości ( wszechświatów) w 11 wymiarowej hiper-czasoprzestrzenii ???