Tak duża, że sięga do nieba

Zaczęło się niewinnie: amerykański matematyk Ronald Graham, prezes Międzynarodowego Stowarzyszenia Żonglerów IJA, współautor zaawansowanej techniki żonglowania o nazwie „bałagan Millsa”, rozważał pewien problem matematyczny mieszczący się w ramach kombinatoryki. Jest to dziedzina matematyki badająca sposoby, na jakie można uszeregować ustalony zbiór elementów. Prosty przykład zagadnienia kombinatorycznego: na ile różnych sposobów możemy usadzić cztery osoby przy jednym stole?

Kombinatoryka słynie z tego, że w jej ramach pojawiają się spore liczby. Ta, którą odkrył Graham, określana technicznie po prostu jako liczba Grahama, a przez Księgę Rekordów Guinnessa jako „największa liczba użyta kiedykolwiek w dowodzie matematycznym”, jest niezwykła nawet jak na tę dziedzinę matematyki.

Problemy z nieskończonością

Warto zacząć od paru słów o nieskończoności. Rzecz w tym, że w zestawieniu z liczbą Grahama nieskończoność wypada dość... blado.

Przyjrzyjmy się najpierw samemu terminowi „nieskończoność”. Nie oznacza on żadnej określonej liczby. Jest to raczej znaczek na papierze (∞) oznaczający „dowolnie dużo” albo „dowolnie wiele razy”. Albo: „jeżeli wydaje ci się, że skończyłeś coś robić, to zrób to jeszcze raz”. Jako taki jest więc dość bezosobowy, trudno go uchwycić i zawiesić na nim oko. To nie jest żadne określone coś.

Zawsze z dużą nieufnością traktowałem stwierdzenia, że Wszechświat – czy Bóg – jest nieskończony. Co to właściwie znaczy? Chyba tylko tyle, że cokolwiek bym sobie wyobraził, Wszechświat (czy Bóg) są od tego czegoś jeszcze przynajmniej troszeczkę większe. Prawda jest jednak taka, że wyobraźnia jest chroma i wymaga stałego treningu rozciągającego. Dla mrówki nieskończony jest asfalt boiska. Dla człowieka – przestrzeń kosmiczna Galaktyki. Nieskończoność jest względna, płynna, bez twarzy – szczerze mówiąc, nie porusza mnie.

C.S. Lewis (ten od „Opowieści z Narnii”) w „Odrzuconym obrazie” – świetnej monografii o umysłowości średniowiecznej – przytacza ówczesne wyobrażenia na temat odległości do niebiańskiej sfery gwiazd. Otóż ludzie średniowiecza, do bólu praktyczni i rzeczowi, podawali konkretne odległości do gwiazd, wyskalowane, co istotne, w jednostkach wysokości. Aby sięgnąć gwiazd, twierdzili, potrzebna byłaby trwająca tygodnie i miesiące wspinaczka. Lewis zauważa, że „średniowieczne wyobrażenie gwieździstego nieba odwołuje się nie do rozumu, a do mięśni, wywołuje zawrót głowy”. Bo rzeczywiście – czy naprawdę porusza nas stwierdzenie, że niebo znajduje się po prostu „nieskończenie daleko”? O ileż bardziej namacalne i bezpośrednio dotykające nas jest wyobrażenie, że wspinamy się na niebosiężną wieżę, schodek po schodku, tydzień po tygodniu, aż Ziemia robi się maleńka i otacza nas wielka, straszna, pusta przestrzeń, i starzejemy się w tej wspinaczce, a po nas wspinają się nasze dzieci, i dzieci ich dzieci...

Wyobraźnia potrzebuje stopni pośrednich, po których może się wspinać. Liczba Grahama to właśnie coś takiego. To drabina do nieskończoności, która pozwala nam testować swoje możliwości wyobrażania, prowadząc nas tak daleko, jak tylko na to jej pozwolimy, zawsze jednak pokazując przy tym coraz dalsze horyzonty.

A przy tym jest to skończona liczba. Wiemy, że jej ostatnia cyfra to 7.

Pojawiła się z jakiegoś powodu, jako określona odpowiedź na pewne matematyczne pytanie – nie jest więc matematyczną ciekawostką, arbitralnym tworem wyobraźni, lecz częścią solidnego, logicznego gmachu matematyki. Jest jednak po prostu tak duża, że matematykom drżą przy niej kolana.

Słowa typu „olbrzymia” i „astronomiczna” szybko się wyczerpują; liczba Grahama bywa najpierw nieśmiało określana jako „transcendentna”, zaś fizyk teoretyczny Tony Padilla z Uniwersytetu w Nottingham zapewnia, że „Twój mózg zapadnie się w sobie jak czarna dziura, jeśli spróbujesz ją sobie wyobrazić”. Matematyk Brady Haran stwierdza z rezygnacją, że „śmiertelnicy właściwie nie powinni nawet podejmować próby jej zrozumienia”.

Popularyzator nauki Tim Urban oddał się dłuższej refleksji, którą warto przytoczyć. „Wyobraź sobie, że żyjesz liczbę Grahama lat. To przerażające. Jest niemożliwe, aby ludzki umysł wytrzymał tak długo. Myślę, że byłoby to najstraszliwszym błędem, gdyby świadomie wyrazić życzenie, że chce się żyć nieskończenie długo – a mówię to ja, który otwarcie boi się śmierci. Co dziwne, myślenie o liczbie Grahama sprawiło, że trochę spokojniej mierzę się z perspektywą śmierci – przypomina mi ona, że tak naprawdę wcale nie chcę żyć wiecznie – tak, chciałbym umrzeć w pewnym momencie, ponieważ pozostawanie świadomym przez wieczność jest jeszcze bardziej przerażające”.

Po co w ogóle ta liczba

Myślę, że dojrzeliśmy do pytania, o co właściwie w tym wszystkim chodzi.

Zacznijmy od kontekstu. Graham rozważał problem mieszczący się w ramach tzw. teorii Ramseya, dotyczący ilości sposobów, na jakie można pokolorować krawędzie wielokątów, potem brył, a następnie ich wielowymiarowych uogólnień. Wyobraźmy sobie sześcian, w którym wszystkie wierzchołki połączone są ze sobą nawzajem odcinkami, po czym każdy z tych odcinków kolorujemy na jeden z dwóch sposobów – np. niebieski lub czerwony. Jest to typowa procedura kombinatoryczna polegająca na mnożeniu możliwości. Pytanie rozważane przez Grahama dotyczyło wyżej wymiarowych uogólnień sześcianu („sześcianu czterowymiarowego”, następnie pięciowymiarowego itd.), w których wszystkie dające się narysować odcinki łączące wierzchołki, z każdym kolejnym wymiarem coraz to liczniejsze, koloruje się właśnie w ten sposób. W pewnym momencie, mówi teoria, bez względu na to, jak konkretnie pokolorujemy wybrane odcinki, z czystej konieczności ściśle określona grupa sąsiednich odcinków, leżących ponadto na jednej płaszczyźnie, będzie miała ten sam kolor. Pytanie brzmi: ile wymiarów musiałby mieć „sześcian”, aby było to naprawdę nieuniknione?

Zdaję sobie sprawę, że opis ten jest mętny, jeśli nie całkowicie niezrozumiały. Sam problem matematyczny nie jest jednak dla nas w tym momencie szczególnie interesujący – nie jest on zresztą, powiedzmy sobie szczerze, problemem z górnej półki nierozwiązanych zagadnień matematycznych, za ujarzmienie których oczekują na matematyków milionowe nagrody i światowy prestiż. Istotna jest sama zasadnicza logika problemu, który polegał na wskazaniu najmniejszej liczby wymiarów, przy której ów ściśle określony warunek zostaje spełniony. Liczbę tę określa się jako N*.

W 1971 r., gdy Graham publikował swój artykuł, było wiadomo, że N*>5, tzn. dla pięciowymiarowych „sześcianów” zostało sprawdzone, że warunek ów nie zachodzi – lecz może on wystąpić dla N*=6. Graham zabrał się za ów problem z zupełnie innej strony, próbując znaleźć górną granicę N* – liczbę wymiarów, dla których na pewno wiadomo, że warunek ów zajść musi. Przedstawione przez niego rozumowanie wykazuje bezsprzecznie, że rzeczywiście istnieje taki limit – jest to właśnie liczba Grahama, oznaczana – z powodów, które za chwilę wyjawię – g64. Inaczej mówiąc, Graham wykazał, że N*ciekawe, rzeczywista wartość N* może być dowolną liczbą mieszczącą się w tym zakresie – może więc wynosić np. 15. Nic to; powiedzmy może parę słów o liczbie Grahama.

Zacznijmy od potęgowania, które samo w sobie stanowi dobrą metodę tworzenia dużych liczb. Ot, 10 do potęgi 10, co zwykle zapisuje się 1010, a czasem: 10^10. To już wiele – 10 miliardów, czyli więcej niż liczba ludzi na świecie. W prosty sposób liczbę tę można poważnie zwiększyć, osiągając np. 10^80, czyli szacowaną liczbę cząstek w obserwowalnym Wszechświecie. Choć sam Wszechświat może być nieskończony, to jego objętość dostępna obserwacjom jest skończona – i mieści się w niej, jak się szacuje, właśnie tyle mniej więcej poszczególnych cząstek subatomowych. To już, no cóż, naprawdę sporo – znacznie więcej, niż jesteśmy sobie w stanie wyobrazić, a na pewno więcej, niż ­będzie nam kiedykolwiek potrzebne przy liczeniu czegokolwiek realnie istniejącego.

To jednak dopiero dziecinny krok wobec tego, z czym przyjdzie nam się mierzyć.

Bardzo dużo strzałek

Liczba Grahama wyłania się w toku uogólniania, czy też poszerzania, potęgowania. Do zapisu tej procedury stosuje się natomiast zwykle tzw. notację strzałkową Knutha, nazwaną na cześć Donalda Knutha, jednego spośród kilku szczególnie kreatywnych matematyków XX wieku. Otóż w notacji strzałkowej 3↑3 to nic innego jak 3 do potęgi 3, czyli 3^3. Czyli po prostu 27. Każda kolejna strzałka oznacza, że poprzednią operację należy wykonać tyle razy, ile wynosi liczba kończąca zapis.

Przykładowo, następna w hierarchii Knutha liczba, 3↑↑3, to trzykrotnie wykonana operacja potęgowania, czyli 3^3^3. Odnotujmy w tym momencie, że operacje w systemie Knutha są prawostronne, tj. „3 do potęgi 3 do potęgi 3” oznacza tu: „3 do potęgi (3 do potęgi 3)”, czyli 3 do potęgi 27.

Jest to, nawiasem mówiąc, 7 625 597 484 987, czyli ponad 7 bilionów: dość spora liczba, w odniesieniu do której spokojnie można by użyć określenia „astronomiczna”.

Podwójna strzałka Knutha opisuje więc tzw. wieże potęgowe. 3↑↑7 to 3 do potęgi 3 do potęgi 3 do potęgi... i tak siedem razy. Już na tym etapie otrzymujemy liczbę, która dalece wykracza poza sferę „astronomiczną”. Kosmos, sprowadzony do największej chyba realnie dającej się wyrazić liczby – ilości cząstek we Wszechświecie obserwowalnym – wyczerpuje się już przy kilku najprostszych wieżach potęgowych.

Idźmy jednak dalej, dodając kolejną strzałkę. 3↑↑↑3 to trzykrotnie wykonana operacja 3↑↑3, co oznacza, że uzyskany przed chwilą wynik, 7 bilionów z hakiem, oznacza najpierw ilość członów w... wieży potęgowej składającej się z trójek (3 do potęgi 3 do potęgi 3.... i tak 7 bilionów razy), a uzyskany w ten sposób wynik dopiero oznacza liczbę członów w naszej docelowej wieży potęgowej – czyli wynik całej operacji.

Mniej więcej na tym etapie mój mózg, muszę przyznać, zaczyna się robić narzędziem zgoła niepożytecznym. Nie ma możliwości, abym wyobraził sobie wieżę potęgową składającą się z tryliona ­trójek, skoro nawet wieża składająca się z ledwie trzech takich trójek prowadzi do liczby kompletnie dla mnie niewyobrażalnej. Tym, co jednak robi na mnie szczególne wrażenie, jest tempo, w jakim dodanie kolejnej strzałki zmienia postać gry. 3↑3 to po prostu 27, liczba swojska, wyobrażalna, codzienna. 3↑↑3 to 7 bilionów: liczba potężna i dalece wykraczająca poza świat mojego doświadczenia, ale wciąż jakby odlegle dająca się wyobrazić. 3↑↑↑3 to już jednak kosmos czysto matematyczny, ponieważ Kosmosu fizycznego wyraźnie zaczyna brakować. Jak bowiem wyobrazić sobie wieżę potęgową trójek o takiej długości, że – jak ktoś słusznie zauważył – zapisane na kartce papieru sięgałyby Słońca? To już liczby po prostu absurdalne, mieszczące w sobie wszechświaty cyfr.

Przejdźmy może do liczby Grahama. Pierwszym krokiem na drodze ku niej, nazywanym liczbą g1, jest 3↑↑↑↑3. Nie będę się nawet ośmielał, by spróbować ją przybliżyć. Już 3↑↑↑3 mnie pokonało i choć od wielu godzin wpatruję się w rozliczne próby opisania, czym jest liczba 3↑↑↑↑3, jestem wobec niej zupełnie bezbronny. Liczba ta zawiera w sobie tyle cyfr, że gdyby zakodować w nich litery, można mieć całkowitą pewność, iż mieści się w niej nie tylko zapis wszystkich dzieł Szekspira, ale i szczegółowy opis twojego i mojego życia, sporządzony prozą, a potem wierszem, także w limerykach. Cóż, mieszczą się w niej po prostu bez trudu wszystkie możliwe ciągi znaków, dające się zmieścić w tysiącstronicowej księdze. Tak niezwykła jest moc notacji Knutha.

I teraz haczyk. Liczba g1 to 3↑↑↑↑3 – cztery strzałki Knutha. Liczba g2 to 3↑↑...↑↑3, gdzie liczba strzałek odpowiada... liczbie g1. Liczba g3 powstaje w ten sam sposób: jest to 3 ↑↑...↑↑3, gdzie mieści się g2 strzałek. W ten sposób w końcu możemy zdefiniować liczbę Grahama: jest to g64; niewinny zapis, kryjący w sobie absurdalne wręcz przestrzenie cyfr... i cyfr... i cyfr...

Więcej niż nieskończoność

Czysto matematyczny aspekt liczby Grahama nie jest przesadnie ekscytujący. Sam Robert Graham mówi o niej kpiąco w wywiadach jako o „sporej liczbie”, zauważając też skromnie, że od czasu jego pierwotnej publikacji prace posunęły się znacząco do przodu. Okazało się w międzyczasie, że rozważany przez niego problem można zawęzić nieco lepiej, przez co obecnie dolną granicą wymiarowości poszukiwanego hipersześcianu jest 11, a górną wcale nie liczba Grahama, lecz wartość znacznie od niej mniejsza – choć i tak zapisywana w notacji Knutha.

Znaczenie symboliczne g64 trudno jednak przecenić. Od kiedy w 1977 r. napisał o tej liczbie Martin Gardner, słynny dziennikarz piszący przez lata dla „Scientific American”, kolejne pokolenia pasjonatów matematyki natrafiały na nią, testując swoją wyobraźnię i zdolność abstrakcyjnego myślenia. To ciekawe poczucie: natrafić na coś – konkretne, skończone, namacalne coś, mające określoną definicję – co jednak jest po prostu tak duże, tak odległe, tak onieśmielające, że słowo „nieskończoność” wydaje się być przy nim blade, banalne i nie robi żadnego wrażenia.

3↑3 tłumaczone jest w szkole. 3↑↑3 można pojąć po chwili zastanowienia. 3↑↑↑3 ma zrozumiałą strukturę, choć jego rozmiar nie daje się pojąć żadną miarą. Są w internecie teksty próbujące przybliżyć samą tylko ideę 3↑↑↑↑3 – bo przecież nie jej wartość!... – na drodze żmudnych wizualizacji. Ja sromotnie poległem na tej drodze i poważnie powątpiewam, czy osoby twierdzące, że „widzą” tę liczbę, są do końca szczere. 3↑↑↑↑↑3 pozostaje dla mnie niewyobrażanym, niebosiężnym, budzącym trwogę obiektem, rozwierającą się pod nogami przepastną pustką; i mogę tylko lękliwie wyobrażać sobie, jak to jest być istotą mogącą pojąć, czym jest w istocie ta liczba. Jestem przekonany, że aniołowie trwożą się w jej obliczu. Może archaniołom dane jest ujrzeć ją w zarysie.

A to tylko pięć strzałek. Zawsze można dopisać kolejną, i kolejną, i kolejną... i nawet drugi krok na drodze ku liczbie Grahama, g2, zawiera tych strzałek więcej, niż jestem w stanie czysto cieleśnie znieść. Mrowi mnie skóra głowy, gdy pomyślę o tych strzałkach. Wyrażają one wielkość... po prostu absurdalną. Cytowany już wyżej Tony Padilla określił liczbę g2 jako „stupidly big”: idiotycznie wielką.

Wspomniałem, że Ronald Graham, obok wielkich zasług dla matematyki, był też swego czasu uznanym żonglerem. Absurdalne, prawda? Cóż, w obliczu tego, czym jest liczba Grahama, jest to fakt dziwnie stosowny.©