Oblicza symetrii

Pojęcie symetrii posiada swoje korzenie w myśli starożytnej Grecji. O jego pierwotnym sensie przekonuje etymologia. Słowo „symetria” składa się bowiem z dwóch członów: (1) sym, tłumaczonego jako „razem”, „wspólnie” oraz (2) metron, oznaczającego miarę. Symetria, jeśli zawierzyć etymologii, tożsama jest więc ze współmiernością i takie też jej rozumienie pojawia się w „Elementach” Euklidesa – jednym z najstarszych znanych systematycznych podręczników matematyki. Myśl grecka nadała symetrii dużo głębsze znaczenie, oparte na relacji proporcji, wyrażonej w liczbach naturalnych. Relacja ta spełniała fundamentalną rolę harmonizowania różnych od siebie elementów w jednolitą całość, tłumacząc np. współbrzmienie dźwięków. W ten sposób symetria stała się kluczowa dla wyrażenia idei harmonii, piękna i jedności. Grek podziwiający złożoność świata i harmonijne uzupełnianie się przeciwnych sobie tendencji wierzył, że owe na pozór sprzeczne ze sobą elementy świata muszą być na głębszych poziomach rzeczywistości spojone w jedno.

Koncepcja symetrii jako proporcji zaczęła jednak w okresie renesansu ustępować innemu jej rozumieniu. Choć było ono mniej intuicyjne, to dzięki swojemu bardziej abstrakcyjnemu charakterowi pozwoliło symetrii stać się potężnym narzędziem zmatematyzowanych teorii fizycznych. Z pozoru zmiana nie wydaje się wcale zbyt istotna: zamiast akcentować podobieństwo związanych poprzez symetrię obiektów, uwagę skupiamy na ściśle określonych aspektach ich równoważności. Przykładowo, jeśli obrócimy sześcian o 90^o względem osi przechodzącej przez środki jego przeciwległych ścian, otrzymamy obiekt wyglądający dokładnie tak samo jak przed obrotem – struktura ta pozostaje w wyniku zastosowanej operacji zachowana albo, jak się to częściej mówi, stanowi jej niezmiennik. Myślenie o symetrii w kategoriach niezmienników przekształceń jest aktualne do dziś i leży u podstaw nowoczesnego rozumienia świata na fundamentalnym poziomie.

W takim rozumieniu symetrii bierze się pod uwagę trzy jej podstawowe elementy: przekształcenie, strukturę oraz zachowanie. Symetrią jest bowiem takie przekształcenie, które, działając na dany obiekt, pozostawia zachowaną jego strukturę, czyli sieć relacji występujących pomiędzy elementami tego obiektu. O symetrii można więc myśleć jako o „odporności na zmianę” – jakaś cecha danego obiektu pozostaje niezmieniona w toku dokonanego przekształcenia. Z uwagi na fakt, że tak operacje symetrii, jak i niezmienniczość odnoszą się zawsze do tej samej struktury, można słusznie podejrzewać, że między tymi pojęciami istnieją istotne związki. Zanim jednak je omówimy, musimy zapoznać się z matematycznym pojęciem grupy, kluczowym dla formalizacji koncepcji symetri.

Inwazja grup

Odkrycie teorii grup dokonało się nie na gruncie geometrii, lecz algebry, będącej jednym z najstarszych działów matematyki. Pierwotnie dotyczyła metod rozwiązywania równań, w jaki jednak sposób przejść od x=2y+5 do pojęcia symetrii? Historia tego odkrycia stanowi piękną demonstrację charakterystycznego w matematyce uogólniania i abstrahowania.

CZYTAJ TAKŻE: Budulcem Wszechświata, być może najważniejszym ze wszystkich, jest sama geometria - pisze Sebastian J. Szybka

Pojęcie grupy zostało wprowadzone przez francuskiego matematyka, Évariste’a Galois (1811–1832), natomiast jego formalną definicję podał brytyjski matematyk Arthur Cayley (1821–1895). Grupa to dla współczesnego matematyka każdy zbiór obiektów tworzących w pewnym szczególnym sensie spójną całość – tak że w wyniku określonej operacji możemy „przeskakiwać” od jednego elementu tej grupy do innego. Grupę tworzą np. liczby całkowite, ponieważ operacja dodawania dostarcza nam „powiązania” pomiędzy liczbami 2 i 3 oraz liczbą 5.

Dla zastosowań teorii grup w matematyce i fizyce ogromne znaczenie posiadały dwa teoretyczne rezultaty: program erlangeński, sformułowany w 1872 r. przez niemieckiego matematyka i geometrę Felixa Kleina (1849–1925), oraz tzw. twierdzenia Noether, udowodnione w 1918 r. przez niemiecką matematyczkę Emmy Noether (1882–1935). W ramach programu erlangeńskiego wypracowany został metajęzyk – czyli ogólniejszy, bardziej abstrakcyjny język – pozwalający na zunifikowanie istniejących geometrii, takich jak geometria euklidesowa, afiniczna, hiperboliczna czy geometria rzutowa. Ów nowatorski program zmienił całkowicie rozumienie pojęcia „geometria”. Zamiast klasycznego poglądu, że nauka ta mówi o stosunkach przestrzennych – a więc jest po prostu znaną nam ze szkoły nauką o punktach, prostych, kątach i figurach geometrycznych – definiował jako geometrię dowolny zbiór obiektów wraz z pewną grupą przekształceń. Geometria bada więc te własności obiektów, które nie zmieniają się przy dowolnym przekształceniu z obranej grupy. Własności te określa się mianem niezmienników danej grupy przekształceń.

Twierdzenia Noether wiążą natomiast symetrie ze światem fizyki, wprowadzając nową, bardzo już teraz abstrakcyjną naukę geometrii do opisu świata przyrody. Pierwsze twierdzenie Noether, mówiąc nieformalnie, głosi, że każdej ciągłej i globalnej symetrii odpowiada prawo zachowania pewnej fizycznej wielkości. Przykładami są symetrie czasoprzestrzenne, zawierające przesunięcia i rotacje w przestrzeni, a także przesunięcia w czasie. Symetriom tym odpowiadają prawa zachowania pędu i momentu pędu oraz prawo zachowania energii. Przykładowo, zgodnie z twierdzeniem Noether występuje głębokie powiązanie pomiędzy faktem, że we Wszechświecie istnieje zasada zachowania energii – energia nie pojawia się ani nie znika, lecz tylko zmienia postać – a faktem, że istnieje w nim symetria względem przesunięcia w czasie: prawa przyrody są te same teraz i za pięć minut. Udowodnienie tego twierdzenia stanowiło olbrzymią korzyść dla fizyki. Różne formy porządku w przyrodzie okazały się wiązać ze sobą, tworząc swego rodzaju nadporządek, jeszcze głębszy od fizycznego, bo zakodowany w podstawach matematyki.

Choć symetrię można łatwo zidentyfikować w równaniach mechaniki newtonowskiej i teorii względności, to jednak w sposób szczególny siła symetrii ujawniła się w formalizmie mechaniki kwantowej. Na gruncie fizyki kwantowej ową przestrzenią nie jest jednak zwykła, otaczająca nas trójwymiarowa rozciągłość, w której zanurzone są obiekty fizyczne, tylko abstrakcyjny obiekt matematyczny zwany przestrzenią Hilberta. Reguły matematyki obowiązują jednak bez względu na to, jak postanowimy zinterpretować dany obiekt matematyczny, a kwantowe grupy symetrii utożsamia się już dziś z podstawowymi własnościami obiektów mikroświata. Niezwykła skuteczność symetrii w konstruowaniu teoretycznego opisu rzeczywistości fizycznej poskutkowała ukuciem przez jednego z twórców mechaniki kwantowej, niemieckiego fizyka, Wolfganga Paulego (1900–1958), terminu Gruppenpest, co na polski tłumaczy się jako „plaga (teorii) grup”.

Twórcza niedoskonałość

Dalsza manifestacja siły symetrii w postaci tzw. lokalnych symetrii cechowania miała miejsce w ramach standardowego modelu cząstek elementarnych, czyli, zgodnie ze swoją nazwą, standardowego dziś opisu fundamentalnych obiektów świata fizyki, jak fotony, elektrony czy kwarki. W teorii tej różne typy symetrii można bezpośrednio związać z poszczególnymi oddziaływaniami, pozwalającymi cząstkom wymieniać się energią i wpływać na siebie. Nie będę tutaj wyjaśniać szczegółowo, na czym polegają owe symetrie i co oznaczają ich intrygujące nazwy – istotne są bowiem same zależności pomiędzy nimi.

Istnieją cztery fundamentalne oddziaływania pomiędzy cząstkami subatomowymi – elektromagnetyczne, jądrowe słabe i jądrowe silne oraz na pozór podobne, ale wciąż umykające ujednoliconemu opisowi, oddziaływanie grawitacyjne. Model standardowy cząstek elementarnych mówi o trzech pierwszych. Za oddziaływania elektromagnetyczne pomiędzy naładowanymi cząstkami odpowiedzialne są fotony, które podlegają symetrii U(1). Z kolei oddziaływania jądrowe słabe możliwe są dzięki bozonom Z, W⁺ oraz W^-, opisywanym symetrią SU(2). Co niezwykłe, gdy Steven Weinberg i Abdus Salam zaproponowali w latach 60. XX w. połączenie sił elektromagnetycznych i słabych w postaci zunifikowanej teorii oddziaływań elektrosłabych, teorii tej właściwa była łączna symetria SU(2)xU(1). W ramach teorii zwanej chromodynamiką kwantową opisuje się z kolei oddziaływania jądrowe silne, realizujące symetrię SU(3), które przenoszone są przez gluony. Ostatecznie całkowitą symetrię właściwą standardowemu modelowi cząstek elementarnych zapisuje się jako SU(3)xSU(2)xU(1): jest to więc jak gdyby „nadsymetria” będąca sumą trzech symetrii związanych z poszczególnymi oddziaływaniami fundamentalnymi. Piękny, elegancki wynik pokazujący po raz kolejny, że warto było wprowadzić teorię grup do fizyki.

Standardowy model cząstek elementarnych nie pozwalał jednak wyjaśnić, skąd pochodzi masa cząstek. Do tego celu potrzebna była zupełnie odmienna własność symetrii, jaką stanowi możliwość jej spontanicznego łamania. Efekt łamania symetrii występuje wówczas, gdy w badanym układzie dochodzi do obniżenia jego symetrii. Klasycznym przykładem jest ustawiony na ostrzu ołówek. Ponieważ nie jest on początkowo przechylony w żadną stronę, układ jest symetryczny względem obrotów: można na niego patrzeć z dowolnej strony i zawsze będzie wyglądał tak samo. Jest to jednak równowaga nietrwała i najlżejszy podmuch powietrza sprawi, że owa symetria ulegnie „złamaniu” – ołówek przechyli się w określoną stronę i w końcu upadnie na stół, skierowany tylko w jednym, konkretnym kierunku. Efekt łamania symetrii został po raz pierwszy poddany systematycznej analizie przez Piotra Curie. Rezultaty jego dociekań znane są dziś jako zasady Curie, które orzekają, że występowanie zjawiska fizycznego na skutek działania przyczyn wiąże się z obniżeniem symetrii ośrodka, w którym dane zjawisko zachodzi. Ujmując rzecz skrótowo: „dyssymetria jest tym, co wywołuje zjawiska”.

Wróćmy do fizyki fundamentalnej. Za masę cząstek odpowiada, jak się okazuje, kolejna cząstka fundamentalna: bozon Higgsa, którego istnienie przewidziano ponad pół wieku temu, natomiast potwierdzenie eksperymentalne uzyskano dopiero w lipcu 2012 r. Od strony teoretycznej bozon Higgsa utożsamia się ze związanym z nim polem, wywołującym spontaniczne łamanie symetrii, dzięki któremu bezmasowe cząstki uzyskują masę.

Nie ulega wątpliwości, że pojęcie symetrii odniosło w fizyce niebywały sukces. Z tego powodu wielu fizyków wyraża przekonanie, że może ona określać ontologię fundamentalnego poziomu fizycznej rzeczywistości. Czy jest to jednak słuszne? Biorąc pod uwagę to, co ustaliliśmy wcześniej, aby w ogóle można było rozważać operacje symetrii, czyli przekształcenia, musi istnieć jakiś układ odniesienia, względem którego przekształcenie to będzie identyfikowane. Aby jednak taki układ odniesienia mógł spełnić swoją rolę, sam musi wykazywać asymetrię w stosunku do przekształceń symetrii, które mają służyć jako standard. Gdyby był względem tych przekształceń symetryczny, wówczas detekcja jakichkolwiek zachodzących w ich wyniku zmian byłaby niemożliwa. Stąd też płynie bardzo ważny wniosek, że każda symetria implikuje asymetrię. Mówiąc krótko, dla każdej symetrii jest gdzieś we Wszechświecie ukryta asymetria. Obserwacja ta rzuca wyraźną wątpliwość, czy symetria konstytuuje fundamentalny poziom rzeczywistości – być może ważniejszy, bardziej fundamentalny jest jednak nieporządek? ©

ZOBACZ WIĘCEJ: Wielkie Pytania na nowo - serwis specjalny