Matematyk eksperymentalny

Dlaczego 7 razy 9 równa się 63 – tak samo jak 9 razy 7, a nawet 50 dodać 13? Co decyduje o prawdziwości lub fałszywości tego rodzaju „twierdzeń”? Filozofowie matematyki lubią się o to spierać, bo nie ma na to pytanie jednej całkowicie zadowalającej odpowiedzi.

Jedno z rozwiązań głosi, że cała matematyka powinna opierać się na niewzruszalnych fundamentach – aksjomatach, z których każda matematyczna prawda mogłaby być wyprowadzona przy pomocy ustalonych reguł. 

Program Hilberta i jego upadek

Słynny matematyk David Hilbert twierdził, że od dobrej teorii matematycznej powinniśmy oczekiwać niesprzeczności (żadne zdanie i jego zaprzeczenie nie mogą należeć do jednej teorii) oraz zupełności (z każdej pary sensownych i sprzecznych zdań – „pada deszcz” i „nie pada deszcz” albo „7 dodać 3 równa się 10” i „nieprawda, że 7 dodać 3 równa się 10”) – tylko jedno może być twierdzeniem tej teorii (zdanie jest twierdzeniem teorii, jeżeli da się je wyprowadzić z jej aksjomatów).

Program budowy aksjomatycznej teorii całej matematyki szybko okazał się niemożliwy do realizacji. Pierwszy cios w jego serce został zadany ręką austriackiego matematyka, Kurta Gödla, który w 1931 r. wykazał, że teoria matematyki obejmująca zaledwie elementarną arytmetykę nie może być jednocześnie niesprzeczna i zupełna. Nawet ona nie spełnia więc – wydawałoby się intuicyjnych – wymagań Hilberta.

Mimo wykazania teoretycznej trudności programu Hilberta, Gödel sądził, że ma on szanse na sukces praktyczny. Miał on wiązać się z rozwojem metod komputerowych i możliwością wynalezienia takiego algorytmu, czyli zestawu operacji wykonywanych przez program komputerowy, który byłby w stanie dla każdego zdania rozstrzygnąć, czy jest ono twierdzeniem naszej teorii, czy też nie. Jednak w 1936 r. Alan Turing formalnie udowodnił, że taki algorytm nie może istnieć. Z pracy Turinga wynika również, że nie jest możliwe skonstruowanie takiego algorytmu, który będzie w stanie rozstrzygnąć, czy określony program komputerowy zakończy swoje działanie i poda nam rezultat obliczeń, czy też będzie próbował rozstrzygać dany problem w nieskończoność (mowa tu o tzw. problemie stopu dla maszyny Turinga).

Liczba Omega

Opisane zagadnienia zajmowały najwybitniejsze matematyczne umysły XX w. Pod koniec lat 60. zainteresowały również Gregory’ego Chaitina, błyskotliwego nastolatka, ucznia prestiżowej Bronx High School of Science w Nowym Jorku. Już wtedy, niezależnie od Raya Solomonoffa i Andrieja Kołmogorowa, Chaitin wprowadził podstawowe elementy algorytmicznej teorii informacji (będącej, zgodnie z określeniem Chaitina, dobrze zmieszanym koktajlem przyrządzonym z teorii obliczalności Alana Turinga i teorii informacji Claude’a Shannona).

Chaitin przez wiele lat łączył pracę w IBM z hobbystyczną działalnością naukową. Jedno z jego największych osiągnięć wiąże się z rozwinięciem idei Turinga i Gödla – w nowatorski sposób wykazał, że niemożliwe jest podanie teorii zawierającej wszystkie prawdy matematyczne.

Całe przedsięwzięcie zaczyna się od niewinnego przykładu. Chaitin prosi nas o wyobrażenie sobie wielkiego worka zawierającego wszystkie możliwe programy komputerowe. Mając taki worek, możemy zadać proste pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania z tego worka takiego programu, który rozwiąże dany problem (przedstawi nam jakąś wartość liczbową i się zatrzyma)? Wartość, która jest odpowiedzią na to pytanie, to słynna liczba Omega (stała Chaitina).

Jeżeli będziemy w stanie napisać algorytm, który będzie mógł obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania z naszego worka programów, które rozwiążą dany problem i dadzą nam wynik (możemy też mówić o losowaniu problemów rozwiązywalnych algorytmicznie), to ten algorytm będzie w zasadzie pokazywał, które problemy są rozwiązywalne (w skończonej liczbie kroków), a które nie. Będzie on zatem dokładnie tym programem, którego niemożliwość istnienia wykazał Turing! Pojawia się więc pierwsza niezwykle istotna cecha liczby Omega – jej nieobliczalność. Nie możemy podać algorytmu, który będzie nam tę liczbę generował. Chaitin nazywa Omegę najgorszą rzeczą, która mogła przytrafić się matematykom wierzącym w istnienie ogólnych teorii. Jest to dobrze zdefiniowany matematyczny obiekt, którego w żaden sposób nie da się uprościć. Dla porównania: liczba Pi (π) jest nieskończonym ciągiem cyfr, ale da się napisać dość prosty program komputerowy, który poda z dowolnym przybliżeniem jej dziesiętne rozwinięcie. To trochę jak z kompresją danych na twardym dysku. Dokument o setkach tysięcy zapisanych stron nie musi zajmować ogromnej części pamięci naszego komputera, bo można go skompresować, podobną sztuczkę da się nawet powtórzyć z grafiką, dźwiękiem czy filmem (również funkcjonującymi w pamięci komputera jako ciąg zer i jedynek, podobnie jak liczba Pi).

Z liczbą Omega sprawa wygląda zupełnie inaczej – nie da się jej skompresować. Jeżeli zapiszemy ją w systemie binarnym (jako ciąg zer i jedynek), to okaże się, że kolejne wystąpienia tych zer i jedynek są całkowicie losowe. Chaitin pisze, że właśnie ta losowość stanowi ostateczny i nieusuwalny mur dla każdego matematyka.

Wróćmy do problemu podstaw matematyki. Jeżeli szukamy teorii opisującej całą matematykę, to jej elementem musiałby być również algorytm pozwalający obliczyć liczbę Omega. Niestety, istnienie takiego algorytmu zostało wykluczone przez Turinga. Liczba Omega na zawsze pozostanie więc informacją, której nie możemy uprościć. Dla Chaitina jest to równoważne z tym, że nie możemy jej pojąć. Według niego zrozumieć coś to podać opis tego czegoś w terminach algorytmicznych, a więc konstruując najprostszy program, który będzie to coś generował.

Ewolucja okiem informatyka

Od jakiegoś czasu Chaitin rozwija nowy projekt – metabiologii. Jego celem jest spojrzenie na teorię ewolucji z punktu widzenia matematyki.

Chaitin proponuje, by na kod DNA spojrzeć jak na język programowania, a na geny jak na program komputerowy, w który jesteśmy wyposażeni. Geny, za pomocą hardware, którym są ludzkie ciała, przekładają się na ewolucyjną walutę: dostosowanie (do warunków środowiskowych). Jeżeli zasady ewolucji są prawdziwe, to powinniśmy być w stanie ją zasymulować: za pomocą prostych programów komputerowych tworzyć sytuacje, w których programy te będą ewoluowały na sposób darwinowski, stając się coraz bardziej złożone.

Chaitin wychodzi od prostego programu, który oblicza jakąś liczbę całkowitą – jest to poziom dostosowania tego programu do stałego środowiska. Program się rozmnaża (kopiuje), w efekcie otrzymujemy stabilną populację takich samych programów. Możemy jednak dołączyć mutacje, czyli jakieś zmiany w kodzie naszego programu, które wpływają na jego dostosowanie. Podobnie jak geny, programy mutują losowo. Niektóre z mutacji zmniejszają dostosowanie, inne – zwiększają. Te o lepszym dostosowaniu mogą mutować dalej, prowadząc do powstawania populacji coraz bardziej złożonych programów.

Model Chaitina, będący próbą stworzenia matematycznego (komputerowego) dowodu ewolucji, ciągle znajduje się w fazie niemowlęcej. Brakuje choćby uwzględniania takich czynników jak wpływ środowiska na mutacje albo limit zasobów, o które konkurują programy. Jednak sama idea Chaitina jest niezwykle nowatorska i budzi duże zainteresowanie. 

Filozofia Chaitina

Sama matematyka, zdaniem Chaitina, przypomina nieco naukę doświadczalną, w której o przyjęciu pewnych zasad umożliwiających eksperymentowanie decydują względy pragmatyczne lub indywidualne przekonania naukowca. Stawia to pod znakiem zapytania ideał matematyki jako racjonalnej podstawy wszelkiej wiedzy, zbliżając ją do nauk przyrodniczych, takich jak biologia czy fizyka (dowody komputerowe twierdzeń matematycznych, akceptowane przez Chaitina, można porównywać do eksperymentów naukowych).

Mimo pragmatycznego podejścia Chaitin nie waha się mówić, że jedyne momenty w życiu, gdy czuje, że ma ono sens, to te, w których dokonuje odkryć matematycznych i przeprowadza kolejne dowody. Twierdzi, że interesują go jedynie piękno matematyki i dążenie do prawdy. Jego filozofia matematyki nie daje się łatwo zamknąć w jakimś haśle. Zdaje się on akceptować platonizm matematyczny (stałość, obiektywność i wieczność prawdy matematycznej), jednocześnie wierząc, że odwieczne prawdy matematyczne mogą być zgłębiane nie tylko przez ludzki umysł, ale także przez komputery.

Choć nigdy nie ukończył żadnych studiów, ma dwa doktoraty – oba honoris causa – i jest honorowym profesorem (na Uniwersytecie w Rio de Janeiro). W swoich książkach i artykułach naukowych dał się poznać jako mistrz rozwiązywania problemów jednej dyscypliny za pomocą narzędzi wypracowanych w ramach innej dziedziny. Jego nieszablonowe pomysły często zmuszają do odrzucania akceptowanych ustaleń albo wręcz wywracają obowiązujący porządek. Dlatego u jednych wzbudza podziw, u innych – podejrzliwość.

Współpraca: Łukasz Kwiatek