Dwustu ludzi na świecie

... – napisał matematyk, Pierre de Fermat, w 1637 r. Aż do 1993 r., kiedy Andrew John Wiles z Wielkiej Brytanii na stu stronach papieru A4 udowodnił jego prawdziwość, kolejne pokolenia matematyków usiłowały znaleźć tego dowody. 350 lat krążenia wokół tego samego tematu... Rozgrywające się wyłącznie w ludzkim mózgu operacje myślowe nie były podejmowane w imię jakichkolwiek celów pragmatycznych. Chodziło po prostu o to, by dowiedzieć się, jak jest...

O tym, że matematyka to sztuka znajdywania rozwiązań dla skomplikowanych zadań i przeprowadzania „eleganckich” dowodów, opowiada dr hab. Stefan Dziembowski z Uniwersytetu Warszawskiego.


Dlaczego matematyka?

To proste: chodzi o to, żeby w pracy myśleć – przez wiele miesięcy, czasami lat, próbując rozwikłać zadanie, które jest interesujące matematycznie, a więc ma nietrywialne rozwiązanie, do tej pory przez nikogo nie zaproponowane. Matematyka to jedna z niewielu dziedzin naukowych, której nie sposób uprawiać, jeżeli nie stać nas na głębokie myślowe skupienie. To nie są eksperymenty, jak w naukach przyrodniczych, kiedy naukowcy poświęcają długie miesiące na żmudną pracę laboratoryjną. Matematyka jest sztuką, bo, podobnie jak w humanistyce czy sztukach artystycznych, sens jej uprawiania opiera się na własnej twórczości. To stworzenie czegoś, co do tej pory nie istniało, siłą własnego umysłu – drogą zawiłych rozważań teoretycznych. I to mnie najbardziej intryguje.

W matematyce wszyscy mają równe szanse – to też mi się podoba. Tutaj nie można powiedzieć, że sukces jest poza naszymi możliwościami, bo mamy słabo wyposażone laboratorium albo za niskie nakłady na naukę. Do przeprowadzenia dowodu wystarczy plik kartek i długopis albo komputer, a powodzenie zmagań zależy od możliwości ludzkiego umysłu.

Matematyka to dziedzina zaborcza – mimo możliwości pracy zespołowej angażuje każdego z osobna, indywidualnie. Trudno to opowiedzieć, nie popadając w banał. Z grubsza wygląda to tak, że człowiek siada nad jakimś problemem i na początku nic z tego nie rozumie. Ani na jotę. Czuje się jak w ciemnym pokoju. Po paru miesiącach już coś wie, stawia pierwsze hipotezy, udowadnia je. Okazuje się, że to nie tędy droga, więc stawia następne tezy. A potem kolejne... Krąży, szpera, szuka...

Często czuję się tak, jakbym miał w głowie wielką strukturę, w której ustawicznie zachodzą jakieś operacje – nic tam nie odpoczywa ani się nie wyłącza, wciąż trwają próby. Myślenie o rozwiązaniu zadania staje się obsesją. Życie toczy się dalej: podróżuję, prowadzę zajęcia, jem kolację z kobietą swojego życia... Gdzieś w tle wciąż jednak myślę o problemie. Aż do dnia, kiedy przekonuję się, że zadanie nierozwiązywalne jednak rozwiązanie posiada – jest przejrzyste, daje się zapisać w kilku zdaniach, i tak proste, że powinien je zrozumieć dziesięciolatek. Całość tej wielomiesięcznej, a bywa, że wieloletniej operacji rozgrywa się w mózgu człowieka. I to też mi się podoba.

W trakcie rozmowy na temat tego samego problemu z innym matematykiem, który zajmuje się nim równie intensywnie, nabieramy przekonania, że rozumiemy się jak mało kto. Mimo że poruszamy się na takim poziomie abstrakcji, iż nasza rozmowa staje się niezrozumiała dla kogokolwiek innego. My dwaj spośród całej ziemskiej populacji wiemy jednak, o czym mówimy, i rozumiemy się lepiej, niż to kiedykolwiek się zdarza istotom ludzkim... Także dlatego wiele lat temu wybrałem matematykę.

Koniec końców wszystko, co opowiedziałem, to i za dużo, i za mało. Za mało, by opowiedzieć o tym, co w tej dziedzinie najważniejsze. A za dużo słów przede wszystkim. Bo tak naprawdę chodzi o to samo, co pchało czwórkę himalaistów, którzy wdrapywali się na Broad Peak w marcu 2013 r. To przekonanie, podszyte w równym stopniu dumą, jak próżnością, że umiem zrobić to, czego inni nie potrafią. Czasami „spadam” – wtedy, gdy rozwiązanie znajduje ktoś inny, sprawniejszy. Ale szczytów do zdobycia przecież nie brakuje... I tak jak himalaiści mówią o górach: „zdobywamy je, bo są”, z matematykami jest podobnie: rozwiązujemy problemy dlatego, że istnieją.

Jak znaleźć klucz?

Z dwóch studiowanych dziedzin: matematyki i informatyki, ostatecznie wybrałem tę drugą – jej tematy podsuwają bowiem realne ludzkie problemy. Sama matematyka też zresztą nie opiera się wyłącznie na motywacji uczonych, których intryguje sama naukowa atrakcyjność problemu, bez związku z rzeczywistością. Starożytni Grecy fascynowali się geometrią, bo ich ustalenia znajdywały zastosowanie w architekturze i budowie statków. Mechanika i fizyka dały podwaliny pod osiągnięcia wieku pary i elektryczności. Dzisiejszy rozwój internetu generuje problemy, których rozwiązań może dostarczyć wyłącznie matematyka.

Teoria liczb – laikom podpowiem, że zajmuje się ona pytaniami dotyczącymi liczb całkowitych – przez ponad 2 tys. lat była jedynie rozrywką intelektualną, bo kogo niby, poza matematykami, miałyby obchodzić liczby całkowite i ich podzielność? Dzisiaj odwołujemy się do tej wiedzy niemal na co dzień, choćby w trakcie pobierania pieniędzy w bankomacie. Na założeniach teorii liczb opiera się bowiem cała bankowość elektroniczna, a także moja dziedzina, czyli kryptografia.

Moim polem działania są urządzenia kryptograficzne działające na podstawie pewnego algorytmu (programu działania). Każdy algorytm jest z kolei stworzony w oparciu o klucz. Algorytm jest jawny, klucz – nie; jest losowany tak, aby dla każdego algorytmu był inny. Zadaniem „przeciwnika” jest złamanie klucza i rozszyfrowanie algorytmu. Mogę zbadać promieniowanie elektromagnetyczne, emitowane przez urządzenie kryptograficzne, albo poznać pobór mocy, i na tej podstawie usiłować coś wywnioskować na temat klucza, który jest w środku. Mogę też pracować nad takim rodzajem oddziaływania na urządzenie, dzięki któremu – mówiąc kolokwialnie – przeskoczy w środku jakiś bit, dzięki czemu urządzenie zachowa się w sposób przez nas oczekiwany.

Pomysłów na poznanie tajemnicy urządzenia kryptograficznego nie brakuje, ale ja jestem po drugiej stronie – myślę o opracowaniu ogólnej metody zabezpieczania się przed atakami aktywnymi – takimi, które na skutek działań zewnętrznych doprowadzają do częściowej modyfikacji urządzenia. Podyktowany praktycznymi względami problem daje się przetłumaczyć na język czysto matematyczny: co zrobić, gdy „przeciwnik” przystawi do naszego klucza funkcję, która zmieni jego treść na inną? I algorytm, a za nim całe urządzenie, zacznie działać inaczej, niż byśmy oczekiwali?

Tego typu ataki kryptografia zaczęła uwzględniać w formalnej analizie bezpieczeństwa urządzeń szyfrujących dopiero w ostatnich latach. Wtedy też zaczęto opracowywać protokoły odporne na „aktywne ataki”. Wbrew pozorom tego, czym się zajmuję, nie da się więc zastosować jutro, czy nawet za rok. Ale za dziesięć lat, dlaczego nie? Na dzisiaj takie osiągnięcie potrafi docenić najwyżej 200 osób na całym świecie (w Polsce tymi zagadnieniami nie zajmuje się nikt poza moim zespołem). I to są te osoby, na których opinii zależy mi najbardziej. To ze względu na nich rozwiązanie, które zaproponuję, powinno być eleganckie matematycznie, czyli... proste, zrozumiałe nawet dla laika, jeżeli włoży odrobinę wysiłku w zrozumienie tych zagadnień. Mówię jak artysta, ale estetyka w matematyce nie jest bez znaczenia – jest właściwie elementem składowym przeprowadzanego dowodu.

W Polsce łatwiej?

Mogłoby się wydawać, że jeżeli zdecydowałem się poświęcić życie na myślenie, taki akt poprzedzała świadoma decyzja. Nic z tego... To były dziesiątki drobnych kroków i wyborów, które ostatecznie doprowadziły mnie do ułożenia sobie życia w ten sposób. Na pewno od szkoły podstawowej lubiłem rozwiązywać trudne zadania matematyczne. Także podczas studiów matematycznych i informatycznych na Uniwersytecie Warszawskim bardziej mnie interesowały przedmioty, w których pojawiał się „problem do rozwiązania”. Nie przeszkadzało mi, że rozwiązuję zadanie tydzień albo dłużej, a czasami przerasta ono moje matematyczne zdolności. Do dziś przecież mierzę się z problemami badawczymi, które próbuję rozwikłać od paru lat. Tyle że teraz to nie są bezinteresowne zmagania – wiem, że w tym samym czasie inni ludzie też próbują to zadanie rozwiązać. Czuję oddech konkurencji na plecach...

A wracając do mojej ścieżki zawodowej: to wyszło samo z siebie, że chcę się w życiu zajmować rozwiązywaniem zadań uchodzących za nierozwiązywalne. Dlatego napisałem pracę magisterską u prof. Damiana Niwińskiego, a potem wyjechałem na studia doktoranckie do – traf chciał – bardzo dobrego ośrodka kryptograficznego w Danii. Kryptografia bardzo mnie zainteresowała, więc dalszą naukę – w Szwajcarii, a później we Włoszech – jej właśnie podporządkowałem. Z rzymskiego uniwersytetu La Sapienza wróciłem na Uniwersytet Warszawski.

Doświadczenia zagraniczne, przede wszystkim włoskie, były bardzo pouczające – tam przekonałem się, że nierzadkie w Polsce przekonanie o szczególnie trudnych warunkach uprawiania nauki nad Wisłą jest więcej niż przesadzone. Na pewno są kraje, w których system naukowy jest zorganizowany sprawniej niż w Polsce, ale nie można powiedzieć, że polskie talenty marnują się w trakcie zmagań z przeszkodami biurokratycznymi albo z powodu braku pieniędzy. Środki finansowe są – trzeba tylko zadać sobie trud ich pozyskania; także biurokracja nie jest bardziej dokuczliwa niż gdzie indziej. We Włoszech moi koledzy stawali się samodzielni naukowo niemal w przededniu 40. urodzin, żyjąc za skromną pensję. Byli w stanie poświęcić bardzo dużo, byle robić w życiu to, co uważali za ważne. To w Polsce spotykam się z postawą roszczeniową: „skończyłem studia, napisałem doktorat, więc – należy mi się”. Oczywiście, mogłoby być lepiej, ale mimo wszystko kaprysimy, nie doceniając tych możliwości, które już są.

A że są spore, przekonałem się po powrocie z zagranicznych staży podoktorskich. W 2011 r. otrzymałem dofinansowanie – na stypendium dla siebie i na stworzenie grupy badawczej – z Fundacji na rzecz Nauki Polskiej w ramach programu WELCOME, który wspiera projekty naukowe realizowane przez uczonych z zagranicy tworzących zespoły naukowe w Polsce. To była nie tylko duża pomoc, która pozwoliła mi zatrudnić czterech współpracowników. W tym jest coś więcej – jakkolwiek sentymentalnie to zabrzmi: poczułem, że ktoś o mnie dba. Po kilku latach nieobecności w polskim życiu naukowym, kiedy nic na mnie nie czekało, to był ważny argument, by jednak wrócić do Polski i uprawiać naukę tutaj.

Wydział, na którym pracuję, zdobył już tytuł KNOW – Krajowego Naukowego Ośrodka Wiodącego; to z kolei program ministerialny, który zapewnia jednostkom objętym takim patronatem finansowanie pozwalające na zatrudnienie osób po doktoracie. Także z zagranicy, bo stypendium jest konkurencyjne. I jeżeli z czymś mam kłopot, to właśnie z zatrudnieniem interesujących ludzi po doktoracie, szczególnie informatyków. Ci, których kariera jest obiecująca, bo są zdolni, inteligentni, na dodatek cierpliwi i wytrwali, mają dorobek naukowy, są rozchwytywani (nie tylko przez uczelnie). I nawet o Polsce nie myślą. Wolą wybrać Harvard, Yale, Massachusetts Institute of Technology albo którąś z liczących się korporacji programistycznych, typu Google, Facebook. Tak myślą zarówno Hindusi, wśród których nie brakuje osób o wybitnej inteligencji i jako nacja liczą się coraz bardziej w nauce światowej, jak i Europejczycy, którzy z reguły zdają sobie sprawę, że Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki na Uniwersytecie Warszawskim to na mapie nauki europejskiej miejsce nieprzypadkowe. Najlepsi chcą pracować na uczelniach z najwyższą renomą – nie dziwi mnie to, choćby dlatego, że tylko tam znajdą znakomitych doktorantów.

Jak widać, moim problemem nie są pieniądze – raczej pozyskanie głównego zasobu badań kryptograficznych, czyli... mózgów. A przecież jesteśmy dużym krajem, więc na pewno dysponujemy odpowiednim potencjałem intelektualnym. W kryptografii bowiem – jak w ogóle w dziedzinach matematycznych – różnica między człowiekiem bardzo dobrym a trochę dobrym jest znacząca. Tych znakomitych, którzy potrafią samodzielnie rozwiązywać problemy, jakie przed nimi stawia mój projekt – formalna analiza bezpieczeństwa protokołów kryptograficznych, z uwzględnieniem ataków fizycznych na urządzenia kryptograficzne – nie jest wielu. Czasami porównuję swoją sytuację z możliwościami, jakie pod tym względem ma mój brat – biolog molekularny. Nawet jeżeli jego współpracownik nie jest najlepszy, znajdzie miejsce w grupie badawczej i się zrealizuje. U mnie tak nie ma – matematyk czy informatyk może być świetny, ale jeśli nie będzie w stanie się zmierzyć z poziomem skomplikowania zadań, którymi się zajmujemy w moim zespole badawczym, jest nieprzydatny do niczego.

Co to jest „sukces w nauce”?

Nie czuję się spadkobiercą polskiej szkoły kryptograficznej, czyli takich kryptologów jak Marian Rejewski, Jerzy Różycki i Henryk Zygalski, którzy w latach 30. XX wieku złamali kod niemieckiej maszyny szyfrującej „Enigma”. Nie tylko dlatego, że edukację kryptograficzną odebrałem poza Polską, ale, co równie ważne, w matematyce nieformalne „prawo dziedziczenia” odbiera się od promotora swojej pracy doktorskiej. Istnieje nawet matematyczne drzewo genealogiczne uwzględniające wszystkich doktorów matematyki; korzenie większości z nas sięgają, oczywiście, Gaussa. Z racji tego, jak wyglądała powojenna historia Polski, trójce wybitnych polskich kryptologów nie było dane pozostawić wychowanków. Ponieważ ich prace musiały być utajnione, nie mieli też szans na otrzymanie Medalu Fieldsa, który jest przyznawany co pięć lat najwybitniejszym matematykom przed 40. rokiem życia.

Ograniczenie wiekowe ma zapobiec przyznawaniu tej nagrody za zasługi i osiągnięcia życiowe. Medal Fieldsa ma bowiem honorować za niepodważalnie wybitne osiągnięcia, a w mojej dziedzinie panuje przekonanie, że jeżeli matematyk ma czegoś dokonać, to tylko przed czterdziestką. To jak w sporcie: trzeba mieć w sobie – poza zdolnościami intelektualnymi – podobną zadziorność, skłonność do ryzyka w stawianiu nieoczekiwanych hipotez, wytrwałość, ambicję, odporność na stres i niepowodzenia. Można założyć, że te cechy – z grubsza składające się na psychologiczny profil osoby, której zależy na tym, by pokazać innym, że jest od nich lepsza – w większym stopniu należą do ludzi młodych niż ustatkowanych. Dla nich matematyka nie jest już całym światem, bo sprawdzają się jako pedagodzy, mają rodziny albo osiągnęli na tyle dużo, że nie muszą nikomu niczego udowadniać. I parcie na sukces też wtedy u nich słabnie...

I choć wiem, jakie cechy musi mieć matematyk, nigdy nie mówię, który z moich studentów czy doktorantów będzie naukowcem, jakie osiągnięcia są im pisane. Miałem na studiach wielu zdolnych kolegów, którzy odpadali właśnie dlatego, że nie potrafili pracować nad tematem na przykład przez rok. Odpuszczali, bo ich to nużyło. Z drugiej strony, nadmiar ambicji też bywa zgubny: historia zna matematyków, którzy w wyniku niepowodzeń naukowych popełniali samobójstwo... Sytuacja, kiedy ktoś inny dał sobie radę z problemem, nad którym pracowali, powodowała, że czuli się za głupi, by żyć. Większości matematyków, sądzę, oszczędzone są tak ekstremalne przeżycia i jeżeli tylko potrafią funkcjonować ze świadomością, że inni okazali się w tej konkurencji lepsi, lądowanie w życiowych sprawach (znalezienie pracy i dobrej pensji) jest miękkie.

Przekonałem się o tym, gdy kilka lat sam się zastanawiałem, czy nie zrezygnować. Trzy znaczące firmy, zatrudniające matematyków i informatyków, wysłały do mnie zaproszenie: „Zaaplikuj do nas”. Jedno pochodziło od dużej firmy programistycznej, która kusiła udziałem w ciekawych projektach i dobrymi warunkami pracy. Drugie wysłała firma zajmująca się prowadzeniem gry na giełdzie, gdzie większość operacji jest oparta na algorytmach. Interesujące, ale... Poza tym, że wątpliwe etycznie, dla mnie byłoby to przelewanie z pustego w próżne. Szukałem pracy, która by posiadała społecznie ważny sens, nie sprowadzając się do pomnażania pieniędzy. I wyszło na to – a moją ambicję wsparł wart ponad 3 mln złotych grant Fundacji na rzecz Nauki Polskiej – że taką pracę znajdę na uczelni. I faktycznie, tu czuję, że mój mózg jest wykorzystany w stu procentach. Tutaj mam szansę stworzyć liczącą się na świecie grupę kryptograficzną, bo udało mi się pozyskać zdolnych współpracowników, którzy ciężko na to pracują, nawet w weekendy. Zależy mi, by zajmowali się tym, co społecznie istotne, nie uciekając jednak od trudnych problemów teoretycznych, ważnych dla tych dwustu ludzi na świecie, o których wspominałem. By kontynuowali karierę naukową, znajdując swoje miejsce na gałęziach matematycznego drzewa genealogicznego, choć już na innych uczelniach i w stworzonych przez siebie zespołach badawczych.

I to byłby dla mnie „sukces w nauce”. Inny to liczący się wynik naukowy opublikowany na znakomitej konferencji lub w czasopiśmie. Co za tym idzie: uznanie wśród kolegów z branży – wśród tych dwustu osób na świecie, które się na tym znają i potrafią to docenić. Chyba jest w tym trochę próżności, ale... nawet matematycy pogrążeni w abstrakcyjnych rozważaniach nie żyją na samotnej wyspie. Tym, co ich pcha do kolejnych zadań, jest przecież także chęć zaimponowania innym i sprowokowanie reakcji.


WYSŁUCHAŁA I NAPISAŁA AM


Dr hab. STEFAN DZIEMBOWSKI (ur. 1973) jest pracownikiem naukowym Instytutu Informatyki Uniwersytetu Warszawskiego. W 2011 r. został laureatem programu WELCOME Fundacji na rzecz Nauki Polskiej.