Królowa hipotez

Kiedy 24 września 2018 r. sir Michael Atiyah – jeden z najbardziej zasłużonych żyjących matematyków, laureat zarówno Medalu Fieldsa (1966), jak i Nagrody Abela (2004) – zakończył swój półpopularny wykład i otwarto dyskusję, na wypełnionej po brzegi auli Uniwersytetu w Heidelbergu zapadła cisza. Dopiero po chwili jeden z nieco oszołomionych słuchaczy wstał i zapytał: „Czy to oznacza, że hipoteza Riemanna, problem, za który Instytut Matematyczny Claya oferuje milion dolarów, została właśnie ostatecznie rozwiązana?”. „Pyta pan, czy mogę się zgłosić po te pieniądze? – odpowiedział z pogodnym uśmiechem Atiyah, a jego słowa powtórzyli potem dziennikarze naukowi na całym świecie. – Tak, rozwiązałem zagadnienie postawione przez Riemanna. Zasłużyłem na nagrodę”.

Inni matematycy pozostają jednak nieprzekonani. W manuskrypcie opublikowanym przez brytyjskiego uczonego szybko wykryto fragmenty wymagające dokładniejszego uzasadnienia, a niektórzy twierdzą wręcz, iż kluczowy w całym dowodzie argument zawiera nieusuwalną sprzeczność. Piłeczka jest teraz po stronie Atiyaha, jest to więc dobry moment, by spróbować zrozumieć, o co właściwie tyle szumu. Dlaczego hipotezę Riemanna uważa się za „prawdopodobnie najważniejszy otwarty problem w czystej matematyce”?

Tajemnica liczb pierwszych

O liczbach pierwszych mówi się, że są „atomami arytmetyki”, i jest to podwójnie celna metafora. Primo, w zgodzie z etymologią słowa „atom” są one niepodzielne (chyba że przez jedynkę i przez samą siebie). Secundo, każda liczba naturalna (poza zerem, którego nie będziemy tu zaliczać do liczb naturalnych, i jedynką, która ma nieco pokrętny status w kontekście liczb pierwszych) jest z nich zbudowana; każdą liczbę naturalną można jednoznacznie rozłożyć na czynniki pierwsze. Już Euklides udowodnił, że liczby pierwsze tworzą nieskończony ciąg zaczynający się od 2, 3, 5, 7, 11... Choć jednak uczeni badają je od tysiącleci, wciąż wiemy o nich zawstydzająco mało.

Spójrzmy na przykład na rozmieszczenie liczb pierwszych (oznaczonych kreskami) wśród pozostałych liczb naturalnych (oznaczonych kropkami) w zakresie od 1 do 250:

Rozmieszczenie to wydaje się pozbawione istotniejszych regularności – bodaj jedyne, co można tu zauważyć, to że w miarę jak przesuwamy się w prawo, liczby pierwsze stają się, średnio rzecz biorąc, coraz rzadsze. Poza tym jednak ich zachowanie jawi się jako zupełnie nieprzewidywalne. W połowie XVIII w. wybitny matematyk szwajcarski Leonhard Euler skonstatował: „Matematycy na próżno starali się odkryć jakiś porządek w sekwencji liczb pierwszych i mamy powody, by przypuszczać, że jest to tajemnica, której ludzki umysł nigdy nie zgłębi”.

Pierwsze przebłyski

Co ciekawe, to właśnie Euler postawił pierwszy krok na drodze do złamania „kodu liczb pierwszych”, odkrywając pewną tożsamość, obowiązującą dla każdej liczby naturalnej s. Po lewej stronie tej tożsamości mamy iloczyn nieskończenie wielu czynników, w których pojawiają się kolejno wszystkie liczby pierwsze - podniesione do potęgi minus s - a po prawej znajduje się suma nieskończenie wielu składników zawierających kolejno wszystkie liczby naturalne - podniesione do potęgi s. W ten sposób po raz pierwszy udało się powiązać liczby pierwsze z czymś prostszym i bardziej regularnym. Musiało jednak upłynąć niemal 90 lat, by Bernhard Riemann wydobył z tego wzoru tkwiącą w nim głębię.

Zanim jednak na scenę wkroczył geniusz z Breselenz, tajemnicą rozmieszczenia liczb pierwszych zainteresował się Carl Friedrich Gauss. Zwany przez współczesnych „księciem matematyków”, już jako 15-latek dokonał na tym polu intrygującego odkrycia. Zamiast szukać prawidłowości w położeniu poszczególnych liczb pierwszych na osi liczbowej, zaczął przyglądać się przebiegowi funkcji pi(x) zliczającej liczby pierwsze nie większe niż x (pi nie ma tu nic wspólnego ze słynną liczbą 3,14...). Wykres tej funkcji ma postać nieregularnych „schodów” o stopniach wysokości 1, wznoszących się wraz z każdą kolejną liczbą pierwszą.

Gauss zauważył, że choć „stopnie” funkcji pi(x) pojawiają się nieregularnie, wspinaczka po nich odbywałaby się, średnio rzecz biorąc, w przewidywalnym tempie. Zaproponował nawet dwa proste wzory, które miałyby opisywać to tempo. Za ich pomocą można by obliczać, ile jest w przybliżeniu liczb pierwszych w przedziale [1, x], przy czym Gauss wysunął hipotezę (nazwaną niezbyt odkrywczo „twierdzeniem o liczbach pierwszych”), że procentowy błąd każdego z tych przybliżeń maleje do zera wraz ze wzrostem x; inaczej mówiąc, że przybliżenia te, choć z początku mogą wydawać się kiepskie, stają się coraz lepsze, gdy pytamy o ilość liczb pierwszych mniejszych od miliona, potem od miliarda, i tak dalej. Nikt jednak nie potrafił tego udowodnić i to właśnie ten problem obrał sobie za cel pewien chorobliwie nieśmiały student Gaussa, którego ten ostatni przekonał do porzucenia studiów teologicznych na rzecz matematyki – nazywał się Bernhard Riemann.

Funkcja dzeta

Krótki, raptem 9-stronicowy artykuł Riemanna z 1859 r. nosił prosty tytuł „O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości” i miał się okazać jego jedyną publikacją z teorii liczb, ale to wystarczyło, by na zawsze odmienić oblicze tej dziedziny. Autor zaczął od przywołania wzoru Eulera, po czym zaproponował, by uogólnić tę tożsamość na przypadek zespolonych wartości parametru s.

Liczby zespolone, choć znane matematykom już od XVI w., właściwie dopiero dzięki pracom i autorytetowi Gaussa pozbyły się łatki podejrzanego dziwactwa, wciąż pobrzmiewającej w nazwie „jednostki urojonej”. Ta ostatnia, oznaczana literą „i” (od łacińskiego imaginaris), jest obiektem zachowującym się jak zwykła liczba rzeczywista, z jednym wyjątkiem: podnosząc ją do kwadratu, dostajemy minus jeden. Jeśli przezwyciężymy związany z tym dyskomfort, możemy wprowadzić liczby zespolone jako wyrażenia postaci x + iy, gdzie x, y są liczbami rzeczywistymi. To więc jeden obiekt, jedna liczba, jednak zbudowana jak gdyby z dwóch „normalnych” składników liczbowych. Nietrudno odkryć reguły pozwalające takie obiekty dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić – słowem, uprawiać arytmetykę zespoloną. Okazuje się (choć wymaga to już nieco więcej pomysłowości), że wykonalne jest nawet potęgowanie! Można więc odtworzyć całą znaną ze szkoły arytmetykę w wykonaniu owych specjalnych „dwuskładnikowych” obiektów matematycznych.

Na liczby zespolone można również patrzeć geometrycznie. Każdą liczbę rzeczywistą można jednoznacznie powiązać z punktem na osi liczbowej – jej większą lub mniejszą wartość łatwo kojarzymy z przesuwaniem się w lewo i prawo na osi.

Liczbie zespolonej x + iy można natomiast przypisać punkt płaszczyzny rozpiętej przez dwie prostopadłe osie liczbowe – wystarczy odłożyć wartość x na osi poziomej (zwanej osią rzeczywistą) oraz y na osi pionowej (zwanej urojoną). Potwierdza to intuicję, że liczba zespolona jest tworem jak gdyby „dwuwymiarowym”: gdy porównujemy dwie takie liczby, jedna może być od drugiej większa ze względu na swoją część rzeczywistą, ale jednocześnie mniejsza ze względu na swoją część urojoną – zupełnie jak dwa punkty na płaszczyźnie, z których jeden może być „większy poziomo” (tj. znajdować się dalej w prawo), ale „mniejszy pionowo” (tj. intuicyjnie znajdować się niżej) od drugiego.

Riemann zdefiniował początkowo swoją funkcję zespoloną, którą oznaczył grecką literą ζ (dzeta), korzystając po prostu z prawej strony wzoru Eulera.

Natychmiast zauważył jednak, że wzór ten nie zawsze zachowuje się poprawnie (w świecie liczb zespolonych suma ta daje czasem w wyniku nieskończoność). Riemann wyprowadził więc alternatywny (i nieco bardziej skomplikowany) wzór na funkcję, działający już dla wszystkich zespolonych s (poza s = 1), który redukuje się do wzoru Eulera wszędzie tam, gdzie ma on sens. Tak rozumiana funkcja ζ okazuje się mieć bardzo interesujący wykres (zob. rysunek powyżej), obfitujący w miejsca zerowe, czyli punkty, w których funkcja przyjmuje wartość zero.

Riemann podzielił zera funkcji ζ na dwa rodzaje. Tzw. zera trywialne (w żargonie matematyków oznacza to tyle co „banalne” i „niegodne uwagi”) leżą w punktach -2, -4, -6 itd. Położenie pozostałych zer, zwanych nietrywialnymi, jest już trudniejsze do przewidzenia, jednak Riemannowi udało się zawęzić je do nieskończonego paska zawartego między osią pionową a równoległą do niej prostą leżącą w odległości jeden. Znalazłszy ręcznie kilka pierwszych zer, zauważył, że leżą one dokładnie pośrodku tego paska – na tzw. prostej krytycznej – i postawił hipotezę, że będzie tak dla nich wszystkich. Zrobił to mimochodem, albowiem nie potrafił jej uzasadnić i nie była mu ona zresztą potrzebna w dalszych rozważaniach. To właśnie ta hipoteza, stanowiąca, iż „wszystkie nietrywialne zera funkcji ζ leżą na prostej krytycznej”, przez jej autora uważana za marginalną, miała niebawem stać się Świętym Graalem matematyki.

O tym jednak za chwilę. Trzeba bowiem najpierw wyjaśnić, co te wszystkie zespolone abstrakcje mają wspólnego z kwestią rozmieszczenia liczb pierwszych – będącej głównym celem badań Riemanna. Otóż dzięki funkcji ζ udało mu się wyprowadzić (a nie tylko odgadnąć, jak Gaussowi) nowy wzór na znacznie lepsze przybliżenie funkcji pi(x) zliczającej liczby pierwsze.

W istocie osiągnął jednak coś znacznie więcej – znalazł ścisły przepis, jak przy pomocy nietrywialnych zer funkcji ζ systematycznie poprawiać to przybliżenie. Co najbardziej niesamowite, jeśli zgodnie z tym przepisem uwzględni się wszystkie nietrywialne zera, jego przybliżony wzór na pi(x) staje się dokładny.

Krótko mówiąc, Riemannowi udało się znaleźć ścisły wzór na rozmieszczenie liczb pierwszych, wykorzystujący nietrywialne zera funkcji ζ. Chcąc złamać „kod liczb pierwszych”, wystarczy więc jedynie zrozumieć, gdzie się te zera znajdują.

Tylko że to wcale nie jest takie proste.

W głąb króliczej nory

Czego właściwie dowiedzielibyśmy się, gdyby udało się potwierdzić hipotezę Riemanna – a więc wykazać, że wszystkie te zera leżą na prostej krytycznej?

Oddajmy głos prof. Krzysztofowi Maślance, uznanemu specjaliście w tej dziedzinie: „Jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to rozmieszczenie liczb pierwszych jest względnie regularne; jeśli nie – wówczas możemy powiedzieć, że nie wiemy o tym rozmieszczeniu praktycznie nic”. Innymi słowy, prawdziwość hipotezy Riemanna, choć nie gwarantowałaby pełnej przewidywalności sekwencji liczb pierwszych, to jednak pozwoliłaby znacząco zredukować wrażenie jej chaotyczności. Fizyk Michael Berry ujął rzecz bardziej poetycko: „Hipoteza Riemanna głosi, że liczby pierwsze mają w sobie muzykę”. Jej fałszywość oznaczałaby więc kakofonię w samym sercu arytmetyki; oznaczałaby, że nie żyjemy w najlepszym z matematycznych światów.

Studiowanie rozmieszczenia liczb pierwszych, choć może się wydawać zagadnieniem czysto akademickim, od kilku- dziesięciu lat ma istotny wymiar praktyczny, związany z kluczową rolą „atomów arytmetyki” we współczesnej krypto- grafii. Każdy przelew bankowy, każde złożenie podpisu elektronicznego, każde logowanie się za pośrednictwem Facebooka wykorzystuje algorytmy szyfrujące, które opierają swoje działanie i skuteczność m.in. na nieprzewidywalności występowania (dużych) liczb pierwszych.

Oczywiście, samo stwierdzenie prawdziwości hipotezy Riemanna nie zagraża naszym kontom bankowym – w końcu deszyfranci już teraz mogą projektować swoje algorytmy w oparciu o hipotezę Riemanna, nie czekając na jej dowód. Niewykluczone jednak, że sama droga do takiego dowodu istotnie wzbogaci naszą wiedzę o liczbach pierwszych, a wraz z nią – arsenał technik kryptograficznych, otwierając nowy rozdział w wyścigu zbrojeń między projektowaniem szyfrów a ich łamaniem.

Wpływ hipotezy Riemanna wykracza jednak poza teorię i zastosowania liczb pierwszych.

Przykładowo, znane są dosłownie setki twierdzeń wynikających z prawdziwości tzw. uogólnionej hipotezy Riemanna (GRH). Jej dowód automatycznie zamykałby kwestię wielu innych matematycznych zagadek. Do najbardziej znanych z nich należy tzw. słaba zasada Goldbacha, w myśl której każdą liczbę nieparzystą od 7 wzwyż da się zapisać jako sumę trzech liczb pierwszych (np. 9 = 3 + 3 + 3 = = 2 + 2 + 5).

Nadmieńmy, że niektóre „egzotyczne” wersje hipotezy Riemanna – występujące w wielu działach matematyki, czasem nie mając nawet żadnego oczywistego związku z liczbami! – udało się już udowodnić. Chociaż techniki zastosowane w ich dowodach nie dają się, niestety, przenieść na grunt funkcji ζ, to wersje te uważa się za mocne przesłanki na rzecz prawdziwości tej hipotezy – znacznie silniejsze niż sugestywny fakt, że w ciągu tych 160 lat nie znaleziono ani jednego nietrywialnego zera funkcji ζ nieleżącego na prostej krytycznej (a superkomputery przyjrzały się bilionom z nich).

Oczywiście, same przesłanki, choćby nie wiadomo jak przekonujące, nie wystarczą – w matematyce jedynym i ostatecznym kryterium prawdziwości jest rygorystyczny dowód.

Czy zatem sir Atiyahowi rzeczywiście udało się poznać tajemnicę „królowej hipotez”, czy raczej dołączy on do grona wybitnych uczonych, których pokonała lub omamiła? Czy obawy jego krytyków okażą się uzasadnione?

Czas pokaże. Wielki David Hilbert, który już w 1900 r. umieścił RH na swojej słynnej liście najbardziej palących problemów matematyki, stwierdził ponoć, że gdyby obudził się po tysiącletniej drzemce, to jego pierwsze pytanie brzmiałoby: „Czy udowodniono już hipotezę Riemanna?”. W jego słowach zdaje się pobrzmiewać wątpliwość, że nasze dotychczasowe półtora wieku wystarczy. ©

„Kolorując dziedzinę”

Gdy w szkole uczymy się rysować wykresy funkcji, w zupełności wystarczy nam dwuwymiarowa powierzchnia kartki czy tablicy, ponieważ potrzebujemy tylko dwóch prostopadłych osi – jednej dla dziedziny, a drugiej dla przeciwdziedziny wykreślanej funkcji rzeczywistej. „Swojskim” przykładem jest choćby wykres temperatury – na osi poziomej przedstawione są kolejne godziny i dni tygodnia: to nasza dziedzina. Na osi pionowej temperatura: to nasza przeciwdziedzina.

Dla funkcji zespolonych zarówno dziedzina, jak i przeciwdziedzina są jednak dwuwymiarowymi płaszczyznami liczbowymi, toteż nasza kartka musiałaby być czterowymiarowa. Istnieje na szczęście pomysłowy sposób wizualizowania takich funkcji, zwany „kolorowaniem dziedziny”. Prostą demonstracją tej metody jest mapa temperatur – tym razem nakładamy bowiem wiedzę o temperaturze nie na jednowymiarową oś czasu, tylko na dwuwymiarową mapę, na przykład Polski. Kolorem czerwonym możemy wtedy zaznaczyć wyższe wartości temperatury, a niebieskim niższe.

W przypadku liczb zespolonych sprawa jest nieco trudniejsza, ponieważ każdemu punktowi płaszczyzny przypisujemy obiekt dwuwymiarowy (bo przecież liczba zespolona ma dwa składniki) – to trochę tak, jakbyśmy chcieli pokazać na mapie jednocześnie temperaturę i ciśnienie powietrza.

Matematycy zwykle przypisują każdemu punktowi na płaszczyźnie zespolonej określoną barwę i jasność, to nasz sposób „tłumaczenia” każdej liczby zespolonej na określony kolor). Następnie wartości badanej funkcji wyrażamy poprzez zakolorowanie każdego punktu płaszczyzny zgodnie z ustalonym kluczem barwnym. Choć taki sposób wykreślania funkcji zespolonych ma pewne wady, doskonale ukazuje położenie tzw. miejsc zerowych – są to ciemne punkty, w których spotykają się wszystkie kolory!