Szanowny Użytkowniku,

25 maja 2018 roku zaczyna obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. w sprawie ochrony osób fizycznych w związku z przetwarzaniem danych osobowych i w sprawie swobodnego przepływu takich danych oraz uchylenia dyrektywy 95/46/WE (określane jako „RODO”, „ORODO”, „GDPR” lub „Ogólne Rozporządzenie o Ochronie Danych”). W związku z tym informujemy, że wprowadziliśmy zmiany w Regulaminie Serwisu i Polityce Prywatności. Prosimy o poświęcenie kilku minut, aby się z nimi zapoznać. Możliwe jest to tutaj.

Rozumiem

Reklama

Wszechświat nieprzemienny

Wszechświat nieprzemienny

12.03.2016
Czyta się kilka minut
Michał Heller to nie tylko znakomity popularyzator nauki. To przede wszystkim rasowy uczony, który bada Wszechświat wyrafinowanymi narzędziami matematycznymi.
A

Aby lepiej zrozumieć idee leżące u podstaw kosmologicznych modeli Hellera, warto przyjrzeć się naukowej drodze, którą podążał. Fizyka i abstrakcyjna matematyka zawsze leżały w kręgu jego zainteresowań, uzupełniając wiedzę filozoficzną, nabytą w seminarium. Przejawiło się to w pracy doktorskiej ks. Hellera poświęconej cyklicznym modelom Wszechświata. Formalnie była to rozprawa filozoficzna, jednak jej związek z fizyką był na tyle silny, że zdecydowano się powołać na recenzenta jednego z najlepszych specjalistów w dziedzinie ogólnej teorii względności – prof. Andrzeja Trautmana. Pomimo obaw doktoranta, który fizykę poznał studiując samodzielnie podręczniki akademickie, praca została oceniona bardzo dobrze.

Pod koniec lat 60., aby pogłębić swoją wiedzę, Heller uczestniczył jako wolny słuchacz w studiach dziennych z fizyki na Uniwersytecie Jagiellońskim. Wtedy też obronił pracę habilitacyjną poświęconą zasadzie Macha w kosmologii (z grubsza mówi ona, że kształt czasoprzestrzeni determinowany jest przez rozkład materii we Wszechświecie). Na jej podstawie Heller opublikował swoje pierwsze „czysto fizyczne” artykuły naukowe. W tamtym czasie wokół Hellera powstała Krakowska Grupa Kosmologiczna, a jej założyciel wypromował trzech doktorów fizyki teoretycznej.

Początek i kosmiczna ewolucja

Uzyskawszy habilitację, w latach 70. Heller prowadził intensywne badania na froncie kosmologii relatywistycznej, przeżywającej wówczas swój złoty wiek.

Standardowym modelem była wtedy kosmologia Friedmanna, opisująca wielkoskalową ewolucję Wszechświata wypełnionego uproszczoną formą materii zwaną – przez analogię z hydrodynamiką – „płynem doskonałym”. W hydrodynamice płyn doskonały opisywany jest zaledwie przez dwie wielkości fizyczne (ciśnienie i gęstość) i nie zachodzi w nim szereg „typowych” dla cieczy zjawisk, takich jak przyklejanie się do ścianek naczynia czy tworzenie się wirów. W kosmologii „płyn doskonały” dobrze nadaje się do modelowania prostych form materii, takich jak pył czy promieniowanie. Heller wspólnie z Leszkiem Suszyckim i Zbigniewem Klimkiem jako jedni z pierwszych rozważali w serii prac scenariusze ewolucji Wszechświata wypełnionego bardziej realistycznym typem materii (był to tzw. „płyn lepki” albo „niedoskonały”, czyli taki, który już przyklejałby się do ścianek naczynia). Okazało się, że w modelach tych udaje się niekiedy uzyskiwać obserwowaną przyspieszającą ekspansję Wszechświata bez wprowadzania ad hoc kłopotliwej stałej kosmologicznej.
Praca „Imperfect fluid Friedmannian cosmology” (Kosmologia Friedmanna z płynem niedoskonałym) trzech uczonych zasługuje na miano klasycznej i jest cytowana do dzisiaj.

Matematyczne struktury Wszechświata

Lata 80. przyniosły, oprócz kilkunastu dalszych prac kosmologicznych „głównego nurtu”, pierwsze eksperymenty Hellera z bardziej abstrakcyjnymi strukturami matematycznymi, za pomocą których usiłował rzucić nowe światło na problemy kosmologii.

Poszukiwania takich struktur zaprowadziły go w 1987 r. do Zbigniewa Żekanowskiego i Wiesława Sasina, matematyków z Politechniki Warszawskiej zajmujących się tzw. przestrzeniami różniczkowymi. Przestrzenie te wprowadził 20 lat wcześniej inny warszawski matematyk – Roman Sikorski. Miały one służyć do opisu obiektów geometrycznych, zawierających różnego rodzaju „osobliwości” (np. kanty lub załamania), z którymi standardowa geometria sobie nie radzi. Heller razem z Jackiem Gruszczakiem i Piotrem Multarzyńskim postanowili wykorzystać przestrzenie różniczkowe w kosmologii.

Według standardowego modelu kosmologicznego Wszechświat rozpoczął się od stanu zwanego Wielkim Wybuchem. Z matematycznego punktu widzenia jest to właśnie osobliwość, czyli obszar czasoprzestrzeni, w którym załamuje się standardowa geometria. Metody przestrzeni różniczkowych pozwoliły zespołowi Hellera zajrzeć nieco głębiej w matematyczną naturę osobliwości.

W artykułach z tamtych lat Heller często wyrażał nadzieję, że nowe, abstrakcyjne struktury matematyczne pozwolą włączyć do teorii względności efekty kwantowe, a w dalszej perspektywie skonstruować zunifikowaną kwantową teorię grawitacji.

Doskonale zdawał sobie przy tym sprawę, że przestrzenie różniczkowe, choć znacznie wzbogacają arsenał geometrów i relatywistów, nie pozwolą osiągnąć tych celów. Wertując literaturę matematyczną, Heller natrafił wtedy na nową, bujnie rozwijającą się dziedzinę na styku geometrii i algebry – tzw. geometrię nieprzemienną.

Przestrzeń bez punktów

Ideą leżącą u podstaw geometrii nieprzemiennej jest opis globalny. W dużym uproszczeniu polega on na tym, by zamiast skupiać się na samym obiekcie geometrycznym, przyglądać się raczej zbiorowi funkcji, które można na nim zdefiniować. Mówiąc obrazowo, zamiast opisywać instrument muzyczny podając jego wymiary, kształt i materiał, z którego jest wykonany, koncentrujemy się na repertuarze dźwięków, które może z siebie wydać.

Taki zbiór funkcji jest przykładem struktury matematycznej zwanej „algebrą”.

Elementy algebry można dodawać, odejmować oraz mnożyć (choć już niekoniecznie dzielić).

W algebrze funkcji kolejność mnożenia jest dowolna: f × g = g × f, tak samo jak w przypadku zwykłego mnożenia liczb. Mówimy, że taka algebra jest „przemienna”.

Okazuje się, że algebra funkcji na danym obiekcie pozwala odzyskać wszystkie jego punkty. Posługując się ponownie naszą muzyczną metaforą, można powiedzieć, że repertuar dźwięków wydawanych przez jakiś instrument pozwala go w całości, co do atomu, zrekonstruować. Szczegóły procedury odzyskiwania obiektu geometrycznego z algebry wymagają jednak wyrafinowanej matematyki. Jeśli uda nam się ją oswoić, to równie dobrze możemy zapomnieć o samym obiekcie i uprawiać geometrię w czysto algebraicznym języku.

Możemy pójść jeszcze dalej, w pozornie absurdalnym kierunku i zapytać: co by się stało, gdyby mnożenie w naszej algebrze „nie było przemienne”? Nie jest to czysta fanaberia, bowiem na algebrach nieprzemiennych opiera się cała mechanika kwantowa. Okazuje się, że wciąż możemy sensownie mówić o geometrii, ale będzie ona radykalnie inna od tej, którą poznaliśmy w szkole. Na przykład pojęcie punktu traci tutaj swój sens.

Jako struktura matematyczna łącząca w sobie geometrię czasoprzestrzeni z nieprzemiennością świata kwantów, geometria nieprzemienna budzi wśród wielu fizyków nadzieję na unifikację ogólnej teorii względności i mechaniki kwantowej. Taką ścieżkę obrał też Michał Heller.

Poszukiwania trwają

W roku 1995 ukazały się pierwsze „nieprzemienne” prace Hellera i Sasina.

Zgodnie z oczekiwaniami tak zmodyfikowana teoria czasoprzestrzeni zaczęła przejawiać pewne własności rodem z fizyki kwantowej, co stymulowało do dalszych badań. Doprowadziły one do ukonstytuowania się tzw. modelu grupoidowego. Jego dojrzała wersja została opublikowana w latach 2005-06 (w międzyczasie do zespołu dołączyli matematycy Leszek Pysiak i Zdzisław Odrzygóźdź), ale we wczesnej formie model pojawił się już w pracy „Groupoid approach to noncommutative quantization of gravity” (Podejście grupoidowe do nieprzemiennej kwantyzacji grawitacji) z 1997 r., napisanej wespół z belgijskim fizykiem matematycznym i filozofem Dominique’em Lambertem.

W ramach zaproponowanego modelu zespół Hellera uzyskał szereg ciekawych wyników. Gładka czasoprzestrzeń (taka, jaką posługuje się ogólna teoria względności) nie jest czymś pierwotnym, lecz wyłania się z głębszej, nieprzemiennej struktury, podobnie jak realistyczny obraz na monitorze powstaje z milionów kwadratowych pikseli. Co więcej, w modelu grupoidowym w naturalny sposób z czystej geometrii wyłania się materia. Stanowi to niespodziewaną realizację programu „geometrodynamiki” nakreślonej w latach 50. przez słynnego amerykańskiego fizyka Johna Wheelera. Ponadto model zawiera analog równania Heisenberga – podstawowego równania mechaniki kwantowej. Rzuca też nowe światło na problem kolapsu funkcji falowej, który spędza sen z powiek fizyków od niemal stu lat.

Pomimo ciekawych własności, model grupoidowy może się oczywiście okazać błędny – jak każda teoria fizyczna; ostatecznym arbitrem jest tutaj eksperyment. Niewątpliwie jednak, nawet w swojej obecnej formie, model Hellera spełnia rolę inspirującą – pokazuje, jak można myśleć o Wszechświecie. Sami jesteśmy tego dowodem, ponieważ pod wpływem prac Hellera zajęliśmy się tworzeniem „nieprzemiennych” modeli Wszechświata.

Na geometrii nieprzemiennej profesor Heller bynajmniej nie zakończył poszukiwań pięknych struktur matematycznych zdolnych opisać Wszechświat. W ostatnim czasie jego uwaga koncentruje się na teorii kategorii – nowoczesnej i bardzo abstrakcyjnej dziedziny stanowiącej ogólną teorię struktur matematycznych. Teoria ta, podobnie jak sam Michał Heller, w zadziwiający sposób splata ze sobą matematykę, logikę, a nawet filozofię. ©

Dr MICHAŁ ECKSTEIN, fizyk i matematyk, pracuje w Instytucie Matematyki UJ, członek Centrum Kopernika.

TOMASZ MILLER, matematyk i fizyk, doktorant na Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej, członek Centrum Kopernika.

Czytasz ten tekst bezpłatnie, bo Fundacja Tygodnika Powszechnego troszczy się o promowanie czytelnictwa i niezależnych mediów. Wspierając ją, pomagasz zapewnić "Tygodnikowi" suwerenność, warunek rzetelnego i niezależnego dziennikarstwa. Przekaż swój datek:

Autor artykułu

Fizyk i matematyk, pracuje w Krajowym Centrum Informatyki Kwantowej na Uniwersytecie Gdańskim. Jego zainteresowania badawcze sięgają od abstrakcyjnej algebry i geometrii nieprzemiennej po...

Dodaj komentarz

Usługodawca nie ponosi odpowiedzialności za treści zamieszczane przez Użytkowników w ramach komentarzy do Materiałów udostępnianych przez Usługodawcę.

Zapoznaj się z Regułami forum

Jeśli widzisz komentarz naruszający prawo lub dobre obyczaje, zgłoś go klikając w link "Zgłoś naruszenie" pod komentarzem.

"Co więcej, w modelu grupoidowym w naturalny sposób z czystej geometrii wyłania się materia." O ile dobrze rozumiem, to podobnie pisze S. Hawking. Już słyszę te głosy: "no ale ktoś przecież musiał stworzyć geometrię?!..". Można by jeszcze próbować ratować sytuację ryzykowną tezą, że Bóg to Czysta Geometria - tyle, że geometria niestety nie posiada brody.
Zaloguj się albo zarejestruj aby dodać komentarz

© Wszelkie prawa w tym prawa autorów i wydawcy zastrzeżone. Jakiekolwiek dalsze rozpowszechnianie artykułów i innych części czasopisma bez zgody wydawcy zabronione [nota wydawnicza]. Jeśli na końcu artykułu znajduje się znak ℗, wówczas istnieje możliwość przedruku po zakupieniu licencji od Wydawcy [kontakt z Wydawcą]